pzd100Derivazione della gaussiana come limite di funzione binomiale o poissoniana

La figura 7.1 mostra come la distribuzione binomiale ha una forma a campana che somiglia alla gaussiana, quando $n$, $n\, p$ e $n\,q$ sono abbastanza grandi. È quindi interessante trovare l'epressione asintotoca della binomiale. Questo problema portò alla funzione che ora conosciamo come gaussiano quasi un secolo prima della derivazione di Gauss, sulla quale ritorneremo nel paragrafo 11.4. Riscriviamo la funzione di probabilità binomiale riscrivendo i fattoriali nella loro espressione asintotica data dalla formula di Stirling (De Moivre e Stirling, più precisamente), che ricordiamo qui:

$$n! \xrightarrow[n\rightarrow \infty]{} n^n e^{-n}\sqrt{2\,\pi\,n} \propto n^{n+1/2}e^{-n}\,.$$

Chiamando $\Delta =x-n\,p$, da cui

$$x = n\,p-\Delta$$

$$n-x = n\,q-\Delta\,,$$

ne segue, omettendo di volta in volta i fattori moltiplicativi che non dipendono da $x$ (ovvero da $\Delta$) e che possiamo inglobare nella costante di normalizzazione:

$$f(x\,\vert\,{\cal B}_{n,p}) \propto \frac{n^{n+1/2}} {x^{x+1/2}(n-x)^{n-x+1/2}} \,p^x q^{n-x}$$

$$\propto \frac{p^x q^{n-x}} {p^x\left(1+\frac{\Delta}{n\,p}\right)^{n\,p+\Delta+1/2} q^{n-x}\left(1-\frac{\Delta}{n\,q}\right)^{n\,p-\Delta+1/2} }$$

$$\propto \underbrace{\left(1+\frac{\Delta}{n\,p} \right)^{-(n\,p+\Delta+1/... ..._p} \underbrace{\left(1-\frac{\Delta}{n\,q} \right)^{-(n\,q-\Delta+1/2)}}_{D_q}$$

Per studiare il comportamento asintotico di $D_p$ e $D_q$ è preferibile passare ai logaritmi:

$$\ln{D_p} = -(n\,p+\Delta+\frac{1}{2})\,\ln\left(1+\frac{\Delta}{n\,p}\right) \xrightarrow[\Delta\ll n\,p]{} -\Delta -\frac{\Delta^2}{2\,n\,p}$$

$$\ln{D_q} = - (n\,q-\Delta+\frac{1}{2})\,\ln\left(1-\frac{\Delta}{n\,p}\right) \xrightarrow[\Delta\ll n\,p]{} +\Delta -\frac{\Delta^2}{2\,n\,q}$$

$$\ln{D_p}+\ln{D_q} \xrightarrow[\left\{\!\begin{array}{l}\Delta\ll n\,p \\ \Delta\ll n\,q \end{array}\right.]{} \,-\frac{\Delta^2}{2\,n\,p\,q}$$

$$D_p\, D_q \xrightarrow[\left\{\!\begin{array}{l}\Delta\ll n\,p \\ \Delta\ll n\,q \end{array}\right.]{} \,e^{-\Delta^2/(2\,n\,p\,q)}$$

$$X \xrightarrow[\left\{\!\begin{array}{l} \Delta\ll n\,p \\ \Delta\ll n\,q \end{array}\right.]{} \ \sim {\cal N}(n\,p,\sqrt{n\,p\,(1-p)}.$$

Per completezza, vediamo anche come si può arrivare alla gaussiana come limite della poissoniana per $\lambda\rightarrow\infty$, ovvero quando i valori $x$ sui quali si addensa la massa di probabilità sono relativamente prossimi a $\lambda$ e lontani da zero. Chiamando, in analogia al caso precedente $\Delta=x-\lambda$, prendiamo il logaritmo della funzione di distribuzione poissoniana e, con l'ausilio dell'approssimazione di Stirling, facciamo il limite per $\Delta/\lambda \rightarrow 0$ (ovvero siamo interessati a piccole deviazioni dal valore atteso). Omettendo, come nel caso precedente, i termini che di volta in volta non dipendono da $\Delta$ e sviluppando il logaritmo di $1+\Delta/\lambda$ al secondo ordine intorno a 1, abbiamo:

$$\ln f(x\,\vert\,{\cal P}_\lambda ) \approx x\,\ln \lambda - (x+1/2)\,\ln x + x$$

$$= x\,\ln \lambda - (x+1/2)\,\ln \left[\lambda\left( 1+\frac{\Delta}{\lambda}\right)\right] + x$$

$$\approx -\left(\lambda+\Delta+\frac{1}{2}\right) \,\left[\frac{\Delta}{\lambda}-\frac{1}{2}\left( \frac{\Delta}{\lambda}\right)^2\right] +\Delta$$

$$\approx -\frac{\Delta^2}{2\,\lambda}\,,$$

da cui segue

$$X \xrightarrow[\left\{\!\begin{array}{l} \Delta\ll \lambda \\ \lambda\gg 0 \end{array}\right. ]{}\ {\cal N}(\lambda,\sqrt{\lambda})\,.$$ (8.21)