Propagazione di varianze e covarianze

Le (36) e (37) permettono di calcolare i coefficienti di correlazione e le covarianze fra grandezze misurate con lo stesso strumento. Ma le correlazioni sono generate anche per altre cause. Infatti, vale in generale:

più grandezze ottenute per misura indiretta a partire da un insieme comune di grandezze di base, ciascuna nota con una sua incertezza, hanno in genere valori correlati.

Le grandezze misurate con lo stesso strumento sono soltanto un caso particolare in cui le stesse informazioni comuni sono le costanti di calibrazione. Altri casi importanti sono:

• più grandezze misurate indirettamente da un insieme di grandezze misurate direttamente;
• i parametri delle curve che descrivono una legge fisica (ad esempio intercetta e coefficiente angolare di un fit lineare).

Per comodità diamo la regola generale di propagazione che tiene conto delle correlazioni fra variabili di partenza e fornisce anche le correlazioni fra le variabili di arrivo, senza voler dare una dimostrazione o giustificazione. Per semplificare le formule usiamo la seguente notazione:

${\bf x_i}$

sono le $n$ variabili di partenza (corrispondenti alle $\mu_{X_i}$ nel formalismo usato finora);

${\bf y_k}$

sono le $m$ variabili di arrivo (corrispondenti a $\mu_{Y_k}$);

${\bf\sigma_{x_{ij}}}$:

è una notazione compatta che riassume varianze e covarianze:

• se $i=j$ esse sono le $n$ varianze delle $x_i$:
  $$\sigma_{x_{ii}}=\sigma^2_{x_i}=\sigma^2(X_i)\,.$$

• se $i\ne j$ esse sono le covarianze:
  $$\sigma_{x_{ij}}=$$Cov$$(X_i,X_j)\,,$$

• essendo, per ovvi motivi, $\rho(X_i, X_j) = \rho(X_j, X_i)$, ne segue che anche Cov$(X_i, X_j)$ è uguale a Cov$(X_j, X_i)$ e quindi $\sigma_{x_{ij}}=\sigma_{x_{ji}}$.

${\bf\sigma_{y_{kl}}}$

sono le analoghe delle $\sigma_{x_{ij}}$ per le $Y_k$;

${\bf Y_k=Y_k(x_1, x_2, \ldots, x_n)}$

sono le funzioni che legano le $Y_k$ alle $X_i$;

le derivate

si intendono calcolate in corrispondenza dei valori attesi (``migliori stime'') delle $X_i$.

Con questa notazione la formula compatta di propagazione di varianze e covarianze è:

$$\sigma_{y_{kl}} = \sum_{i,j} \frac{\partial y_k}{\partial x_i} \frac{\partial y_l}{\partial x_j} \sigma_{x_{ij}} \,,$$ (38)

dove la sommatoria si estende alle $n\times n$ combinazioni degli indici $i$ e $j$. Gli indici $k$ e $l$ variano invece fra 1 e $m$.

Come esempio, ricaviamo mediante la (38) l'incertezza della somma e della differenza di due grandezze affette da errore di zero comune facendo uso della (29) e della (36). Inoltre possiamo calcolare la covarianza fra $S$ e $D$ (e da questa, banalmente, il coefficiente di correlazione):

$$X_1 = \mu_1$$

$$X_2 = \mu_2$$

$$Y_1 = S = X_1 + X_2$$

$$Y_2 = D = X_1 - X_2$$

$$\sigma^2(S) (= \sigma_{y_{1,1}}) = (+1)\cdot \sigma_{x_{1,1}} +(+1)\cdot\sigma_{x_{1,2}} +(+1)\cdot\sigma_{x_{2,1}} +(+1)\cdot\sigma_{x_{2,2}}$$

$$= \left(\sigma^2(\mu_{r_1})+\sigma_z^2\right) + \sigma_z^2 + \sigma_z^2 + \left(\sigma^2(\mu_{r_2})+\sigma_z^2\right)$$

$$= \sigma^2(\mu_{r_1})+ \sigma^2(\mu_{r_2})+ 4\, \sigma_z^2$$

$$\sigma^2(D) (= \sigma_{y_{2,2}}) = (+1)\cdot \sigma_{x_{1,1}} + (-1)\cdot\sigma_{x_{1,2}} + (-1)\cdot\sigma_{x_{2,1}} + (+1)\cdot \sigma_{x_{2,2}}$$

$$= \sigma^2(\mu_{r_1})+\sigma^2(\mu_{r_2})$$

$$(S,D) (= \sigma_{y_{1,2}}) = (+1)\cdot \left(\sigma^2(\mu_{r_1})+\sigma_z^2\right) + (-1)\cdot \sigma_z^2 +$$

$$(+1)\cdot \sigma_z^2 + (-1)\cdot \left(\sigma^2(\mu_{r_2})+\sigma_z^2\right)$$

$$= \sigma^2(\mu_{r_1})-\sigma^2(\mu_{r_2})\,.$$

Abbiamo riottenuto $\sigma(S)$ e $\sigma(D)$ che conoscevamo (vedi (27) e (28)).

Per quanto riguarda la covarianza, si noti come il risultato non sia affatto intuitivo. Questo dovrebbe insegnare che, quando i problemi diventano importanti e complicati, bisogna fare molta attenzione agli effetti di correlazione.