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Distribuzione della media aritmetica

Una delle consequenze del teorema del limite centrale più importanti per le applicazioni di laboratorio è la distribuzione di probabilità della media aritmetica. Se si hanno $ n$ variabili casuali indipendenti $ X_i$ descritte dalla stessa distribuzione avente valore atteso $ \mu$ e deviazione standard $ \sigma $, la media aritmetica $ \overline{X}_n$, con $ n$ ``sufficientemente grande'', segue una distribuzione normale di media $ \mu$ e deviazione standard $ \sigma/\sqrt{n}$:

$\displaystyle \overline{X}_n \xrightarrow[n\rightarrow\infty]{} \, \sim {\cal N}(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}})\,.$

Come esempio, possiamo fare delle previsioni relative al processo di Poisson che abbiamo analizzato a lungo, di intensità $ r=0.178\,$conteggi/s. Considerando le medie su 100 misure di conteggi di durata 3, 6, 12, 30 e 100 s, abbiamo:

$\displaystyle \overline{X}_{100}(T) = r\,T \pm \frac{r\,T}{\sqrt{100}}\,,$

ovvero:
$\displaystyle T= 3\,$s $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{X} = 0.53\pm 0.07$  
$\displaystyle T= 6\,$s $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{X} = 1.07\pm 0.10$  
$\displaystyle T= 12\,$s $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{X} = 2.14\pm 0.15$  
$\displaystyle T= 30\,$s $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{X} = 5.34\pm 0.23$  
$\displaystyle T= 100\,$s $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{X} = 17.80\pm 0.42\,.$  

Per un confronto con un esperimento simulato si veda la tabella 5.4. Consideriamo inoltre le medie dei tempi di attesa per osservare 1, 2, 5, 10, 20, 50 e 100 eventi:

$\displaystyle \overline{T}_{n}(k) = \frac{k}{r} \pm \frac{\sqrt{k}}{r\,\sqrt{n}}\,,$

ove facciamo il caso di $ n=100$ per $ k=1$ e $ n=50$ per le altre misure. Otteniamo quindi:
$\displaystyle k=1, n=100$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 5.6\pm 0.6 \,$s  
$\displaystyle k=2, n=50$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 11.2\pm 1.1 \,$s  
$\displaystyle k=5, n=50$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 28.1\pm 1.8 \,$s  
$\displaystyle k=10, n=50$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 56.2\pm 2.5 \,$s  
$\displaystyle k=20, n=50$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 112.4\pm 3.6 \,$s  
$\displaystyle k=50, n=50$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 281\pm 6 \,$s  
$\displaystyle k=100, n=50$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 562\pm 8 \,$s  

Si lascia come esercizio il confronto con i risultati simulati di tabella 1.2. Qualcuno avrà notato come le medie dei tempi di attesa di tabella 5.4 sono in ``spettacolare'' accordo con le previsioni. In effetti esse non erano state effettuate su 100 o 50 misure bensì su 10000 (vedi figura 4.3). Infatti in questo caso le previsioni sarebbero state:
$\displaystyle k=1, n=10000$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 5.62\pm 0.06 \,$s  
$\displaystyle k=2, n=10000$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 11.24\pm 0.08 \,$s  
$\displaystyle k=5, n=10000$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 28.09\pm 0.12 \,$s  
$\displaystyle k=10, n=10000$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 56.18\pm 0.18 \,$s  
$\displaystyle k=20, n=10000$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 112.36\pm 0.25 \,$s  
$\displaystyle k=50, n=10000$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 280.90\pm 0.40 \,$s  
$\displaystyle k=100, n=10000$ $\displaystyle :$ $\displaystyle \overline{T} = 561.8\pm 0.6 \,$s$\displaystyle \,.$  

Questo spiega la ``quasi perfetta'' corrispondenza fra previsioni e risultati dei tempi di attesa di tabella 5.4, che sarebbero stati invece ``sospetti'' nel caso di 50 o 100 misure.
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Giulio D'Agostini 2001-04-02