Linearizzazione

Dalla (11.3) si ottiene la regola generale per una funzione qualsiasi, mediante linearizzazione intorno ai valori attesi. Infatti se indichiamo con $Z=Z(X,Y)$ la generica funzione delle due variabili casuali $X$ e $Y$, abbiamo

$$Z=Z(X,Y) \approx Z(\mu_z,\mu_z) + \left.\frac{\partial Z}{\partial X}\right\vert _... ...eft.\frac{\partial Z}{\partial Y}\right\vert _{\mu_x,\mu_y}\!(Y-\mu_y) + \ldots$$

$$\approx k + \left.\frac{\partial Z}{\partial X}\right\vert _{\mu_x,\mu_y}\!x + \left.\frac{\partial Z}{\partial Y}\right\vert _{\mu_x,\mu_y}\!y + \ldots$$

$$\sigma^2(Z) \approx \left(\frac{\partial Z}{\partial X}\right)^2\sigma^2(X) + \left(\frac{\partial Z}{\partial Y}\right)^2\sigma^2(Y)\,,$$ (11.4)

dove $k$ contiene tutti i termini che non dipendono dalle variabili casuali e che quindi sono ininfluenti ai fini del calcolo della varianza. L'ultimo passaggio è stato ottenuto facendo uso della (11.3). È generalmente sottointeso che le derivate vadano calcolate nel punto di migliore stima di $X$ e di $Y$. Il caso generale va da sé.

Si ricordi che la (11.4) è basata su una linearizzazione. La funzione deve essere abbastanza lineare un certo numero di deviazioni standard intorno alle migliori stime delle variabili di partenza. Questo è generalmente vero se le $\sigma$ sono molto minori delle stime. Se la funzione è lineare non c'è nessun vincolo sul valore di $\sigma$. Ad esempio, se $Z=X+Y$, con $X=0.1\pm 0.7$ e $Y=0.0\pm 1.0$, si ha $Z=0.1\pm 1.2$.

Per quanto riguarda l'uso della formula di propagazione, si raccomanda di fare una lista dei contributi all'incertezza totale dovuti a ciascun termine da cui la grandezza finale dipende. Questo permette di capire quale contributo sia maggiormente responsabile e sul quale bisogna intervenire al momento di pianificare un nuovo esperimento. Quindi la formula (11.4) può essere riscritta nel seguente modo, didatticamente più valido:

$$\sigma(Z) \approx \left\vert\frac{\partial Z}{\partial X}\right\vert\sigma(X) \oplus \left\vert\frac{\partial Z}{\partial Y}\right\vert\sigma(Y)\,,$$ (11.5)

ove con ``$\oplus$'' si è indicata l'operazione di somma in quadratura. C'è un altro modo interessante di riscrivere questa formula:

$$\sigma_Z \approx \sigma_Z(X) \oplus \sigma_Z(Y)\,,$$ (11.6)

in cui $\sigma_Z(X)$ e $\sigma_Z(Y)$ indicano i contribuiti all'incertezza dovuti a ciascuna delle grandezze da cui $z$ dipende. È infatti istruttivo abituarsi a pensare in termini delle componenti all'incertezza totale, piuttosto che usare ciecamente la formula (11.4). È inoltre importante dare alle derivate il significato di coefficiente di sensibilità, nel senso che, maggiore è la derivata, maggiore è la variazione di $Z$ a parità di variazione di $X$ o di $Y$.

Naturalmente le (11.4)-11.6 si generalizzano facilmente al caso di molte variabili. Inoltre, d'ora in poi useremo il simbolo ``$=$'' invece di ``$\approx''$, anche se bisogna tenere ben in mente che si tratta sempre di formule approssimate, a meno che la funzione non sia lineare, ovvero la grandezza finale è combinazione lineare di quelle iniziali.