Incertezze ignote e presupposte uguali

Questo è sicuramente il caso più interessante per le applicazioni di laboratorio. Infatti non sempre è possibile valutare le deviazioni standard associate agli errori casuali ripetendo molte volte le misure a parità di condizioni. Inoltre anche ripetendo le misure si potrebbe non tenere conto di possibili fluttuazioni che dipendono dal valore del misurando (vedi discussione sugli errori sistematici, paragrafo 12.7, primo punto). Come esempio numerico, consideriamo i dati dell'allungamento della molla in funzione della massa applicata (vedi tabella 2.5). Si noti l'assenza, a questo livello, di incertezze associate alle misure. Infatti ogni stima sarebbe arbitraria, come discusso lungamente nei capitoli precedenti. I valori sono stati riportati con tutte le cifre che si riuscivano ad apprezzare sugli strumenti. Si noti come gli studenti abbiano deciso, nonostante le raccomandazioni contrarie, che, date le condizioni di lavoro, fosse difficile effettuare letture al di sotto del millimetro. Vedremo nel seguito se, con il senno del poi, avrebbero dovuto sforzarsi un po' e quali sono le conseguenze sul risultato.

Riportiamo nella tabella $\ref{tab:fit_molla}$ i dettagli dei calcoli. I simboli $\sum_x$, $\sum_{x^2}$, $\sum_y$, $\sum_{x\,y}$ stanno per le sommatorie di interesse.

Tabella: Dettagli del fit dei dati dell'allungamento della molla.

	Serie 1	Serie 2	Serie 3	Media
$\sum_x$ (kg)	4.607	4.607	4.607	4.607
$\sum_{x^2}$ (kg$^2$)	2.914	2.914	2.914	2.914
$\sum_y$ (mm)	605	617	619	613.67
$\sum_{x\,y}$ (kg$\cdot$mm)	406.6	413.4	414.6	411.6
$\overline{x}$ (kg)	0.5758	0.5758	0.5758	0.5758
$\overline{x^2}$ (kg$^2$)	0.3642	0.3642	0.3642	0.3642
$\overline{y}$ (mm)	75.63	77.13	77.38	76.71
$\overline{x\,y}$ (kg$\cdot$mm)	50.83	51.68	51.82	51.44
Var$(x)$	0.03262	0.03262	0.03262	.03262
Cov$(x\,y)$	7.276	7.266	7.2663	7.269
$m$ (mm/kg)	223.1	222.77	222.77	222.88
$c$ (mm)	-52.84	-51.17	-50.91	-51.64
$\sigma$ (mm)	0.659	0.319	0.569	0.290
$\sigma(m)$ (mm/kg)	1.291	0.624	1.11	0.567
$\sigma(c)$ (mm)	0.779	0.377	0.672	0.342
$\rho(m,c)$	-0.954	-0.954	-0.954	-0.954

Si noti come il numero di cifre della tabella non è legato alle regole sulle cifre significative, secondo le raccomandazioni che durante i conti è meglio portarsi dietro molte cifre (vedi ad esempio nota al paragrafo 5.14). I risultati finali si danno invece secondo le regole. Ad esempio, per la 1.a serie:

$$m = 223.1\pm 1.3\,$$ (12.12)

$$m = -52.8\pm 0.8\,$$ (12.13)

$$\rho(m,c) = -0.954\,.$$ (12.14)

Si noti inoltre come il coefficiente di correlazione non sia un optional, ma faccia parte integrante del risultato (vedi anche 12.5 e discussione nel paragrafo 12.8, in particolare punti 8 e 10).

La quarta colonna della tabella è ottenuta utilizzando gli allungamenti medi. Si noti come l'informazione sui parametri che si ottiene mediando le tre serie di misure è approssimativamente uguale (sia come valore che come deviazione standard) a quella combinando direttamente i tre risultati. Ad esempio la media dei tre valori di $m$ è pari a $222.82\pm 0.26\,$mm/kg, contro $222.88\pm 0.29\,$mm/kg ottenuto dagli allungamenti medi.