Dipendenza dal modello

Figura: Periodo di oscillazione della molla in funzione della massa applicata. La linea continua corrisponde all'andamento ottenuto con due parametri ricavati dal grafico del periodo in funzione della radice quadrata della massa. La linea tratteggiata mostra la curva che meglio si adatta ai dati se si impone il passaggio per l'origine degli assi.

C'è un ultimo punto che va precisato. Nello stimare la costante elastica della molla dal grafico di $T$ in funzione di $\sqrt{M}$ la retta è stata scelta senza imporre il passaggio per l'origine degli assi. Questo significa che implicitamente si è assunto che la legge (2.2) potesse essere non perfettamente valida e che ci potesse essere un termine correttivo costante al periodo:

$$T = \frac{2\pi}{\sqrt{k}}\sqrt{M} + T_\circ\, .$$ (6.12)

Utilizzando la (6.6) si trova

$$T_\circ (=c) = 0.491-0.970\times 0.540 \, = -0.033 \, \,.$$ (6.13)

Questo valore di $T_\circ$ ``diverso da zero'' fa sorgere alcune domande:

• innanzitutto, $T_\circ$ è veramente significativamente diverso da zero?
• in tal caso significa che la nostra legge è sbagliata?
• quale valore di $g$ si ottiene se si impone $T_\circ=0$, ovvero che la legge (2.2) sia quella giusta?

Le prime due domande sono quelle a quelle è più difficile rispondere a questo livello. Per quanto riguarda la terza, basta estendere il grafico di $T$ in funzione di $\sqrt{M}$ in modo da includere anche l'origine degli assi, tracciare la nuova retta e rifare i conti. I dettagli vengono lasciati per esercizio. Il risultato è

$$g^\prime = 10.28 \, \frac{\mbox{m}}{\mbox{s}^2}\,.$$ (6.14)

In figura 6.4 sono riportate, insieme ai dati sperimentali, le funzioni relative ai due modelli: la curva continua per la legge (6.12) e quella tratteggiata per la legge (2.2). Uno sguardo al grafico e ai risultati ottenuti ci porta ad ulteriori questioni aperte.

• A occhio il modello con $T_\circ\ne 0$ si comporta meglio dell'altro. Ma è chiaro che, avendo un parametro libero in più, la curva ha più libertà di adattarsi ai dati sperimentali.
• Sempre ad occhio, sembra che addirittura una relazione lineare fra il periodo e la massa possa descrivere decentemente i dati. Come si può stabilire qual' è il modello migliore?
• Come abbiamo visto, per ogni modello abbiamo un risultato di $g$. È possibile combinare in qualche modo i diversi valori e presentare un solo risultato? Per esempio, facendo la media fra i due valori si otterrebbe $g=9.81\,$m/s$^2$, molto prossimo a quello vero. È questo un puro caso oppure la prova che la procedura è corretta?

Per ora lasciamo queste domande in sospeso e riprendiamo la trattazione dei grafici.