Lezioni di Laboratorio di Elettromagnetismo e Circuiti (AA 09/10)
(G. D'Agostini)

Dettaglio degli argomenti trattati a lezione

Lezione 1 (10/3/10)

• Introduzione al corso.
• Le cinque fantasie fatali (da evitare!).
• Qualche ripasso consigliato:
  • Logbook (versione pdf: Le basi del metodo sperimentale: vedi qui).
  • Cifre significative (con esercizi).
  • Carte logaritmiche (in particolare carta semilog).
    Esercizio proposto:
    • simulare un andamenti del tipo x(t)=x₀e^-t/τ e x(t)=x₀(1-e^-t/τ), tabularne i valori (circa 20 punti da 0 a 6τ), riportare su carta semilog e ricavarsi il valore di τ.
• Richiami di forze gravitazionali e analogie con forze elettriche: forza, campo, energia potenziale, potenziale, lavoro. Lettura di grafici di potenziale e di energia potenziale;
• Esempio dell'impianto di risalita come analogo di un circuito con forza elettromotrice ('il motore') e resistenza ('attrito'):
  • lavoro compiuto dal campo gravitazionale e dal motore;
  • potenza necessaria per mantenere un 'flusso di massa': P = (dm/dt) × (hg) = Φ_M × V_G
• Peculiarità delle forze elettriche:
  • cariche di segno opposto;
  • generatori di tensione: mantengono una differenza di potenziale costante fra i loro capi;
  • conduttori e superfici equipotenziali: permettono di 'trasportare' le differenze di potenziale;
  • scorrimento di cariche -> corrente elettrica;
  • strumenti per misurare differenze di potenziale (voltmetri).
• Circuito elementare:
  • Legge di Ohm (attenti al segno): I_A->B = (V_A - V_B) / R.
  • Unità di misura di Q, I, V e R.
  (Per ulteriori dettagli ed esercizi, vedi testo preferito).

 

Lezione 2 (17/3/10)

• Ancora su legge di Ohm e applicazioni.
• Circuito elettrico, maglie e nodi.
• Esempio di circuito con generatore (f=12V) con in serie R₁ (10Ω) e parallelo di R₂ e R₃ (50 e 15 Ω rispettivamente).
  Nota:
  • resistenze in serie: in ciascuna di esse circola la stessa corrente;
  • resistenze in parallelo: ai capi dei esse c'è la stessa differenza di potenziale.
• Regole generali (leggi/principi di Kirchhoff) per 'risolvere' i circuiti:
  • Ad ogni nodo: Σ_i I_i = 0, con versi positivi per correnti entranti (e analogia idraulica);
  • Per ogni maglia: Σ_i ΔV₁ = 0 (e analogia gravitazionale).
• Applicazione al circuito di esempio.
• Regoletta pratica per la legge delle maglie (ma è preferibile ricordare quella generale): Σ_i f_i = Σ_k R_kI_k, con f_i e I_k positive se sono nel" verso di percorrenza" della maglia (ovvero quello con cui si fa l'"inventario delle differenze di potenziale", che non ha niente a che vedere con i versi delle correnti!).
• Bilancio energetico di circuito elementare costituito da generatore e resistenza (ed analogia gravitazionale/idraulica):
  • lavoro compiuto dal campo elettrico e e dalla forza elettromotrice;
  • potenza necessaria per mantenere il circuito in funzione;
  • potenza fornita dalla forza elettromotrice e potenza dissipata dalla resistenza: Effetto Joule: P = I ΔV.
  • Essendo questa relazione valida ai capi di ogni resistore, dalla legge di Ohm otteniamo
    P = I ΔV = ΔV²/R = R I².
• Partitore di tensione e partitore dei corrente:
  • Resistori in serie di cui si conosce la tensione ΔV_s ai loro capi:
    • ΔV_i = ΔV_s V_i/(Σ_i R_i), proporzionale a R_i: cadute di tensione proporzionale ai valori delle resistenza:
    • resistenza equivalente della serie: R_s = Σ_i R_i (si sommano, quindi R_s > R_i);
    • giustificazione dei fili di collegamento come, approssimativamente, equipotenziali.
  • Resistori in parallelo di cui si conosce la corrente totale che fluisce attraverso di essi (I₀ = I_p):
    • I = I₀ (R_p/R_i), inversamente proporzionale a resistenza i-ma;
    • resistenza equivalente del parallelo: R_p^-1 = Σ_i R_i^-1 (si sommano i reciproci, quindi R_p < R_i).
• Risoluzione dell'esercizio di cui sopra sia risolvendo le equazioni di maglie e nodi che usando gli equivalenti serie e parallelo per "ridurre il circuito"
• Esercizi per casa:
  • Circuito con due generatori (2.1 e 1.9 V) e tre resistori (45,10, e 10 Ω), vedere/chiedere appunti:
    • calcolare le correnti I_i, I₂ e I₃ che scorrono nei resistori;
    • cosa succede se si pongono a zero, alternativamente, le tensioni a capi dei due generatori? Valutare le nuove correnti e confrontare con quelle prodotta dai due generatori entrambi 'accesi';
    • calcolare la potenza erogata da ciascun generatore e la potenza dissipata da ciascuna resistenza;
    • Ponendo a zero (convenzionalmente) la tensione del nodo fra le tre resistenze (V_C = 0, secondo lo schema disegnato a lezione), valutare il potenziale negli altri punti del circuito;
    • immaginiamo di bypassare R₂ mediante un filo perfettamente conduttore: quanto vale la corrente che passera' in esso? (È conveniente risolvere il circuito considerando la corrente prodotta individualmente da ciascun generatore ed usare equivalenti serie/parallelo).
  • Stufetta da 1000W alimentata da batteria a 12V: cosa succede se teniamo conto della resistenza non nulla dei cavi? Si risolva considerando cavi di alimentazione da 2m ciascuno, aventi 2mm di diametro e una resistività ρ di 1.8×10^-8 Ωm:
    • differenza di potenziale ai capi della stufetta;
    • nuova potenza dissipata dalla stufetta;
    • potenza dissipata dai cavi.
  • Si leggono su una batteria per auto ha le seguenti caratteristiche: 12V, 60Ah e 500A. Valutare l'energia immagazzinata nella batteria e la massima potenza da essa erogabile
• Introduzione 'modellistica' al condensatore tramite la sua proprietà fondamentale: ΔV_C = Q/C e analogia con capacità termica.

 

Lezione 3 (24/3/10)

• Ancora sul partitore di tensione:
  • Domanda a cui rispondere facendo i conti a mente: due resistenze, rispettivamente di 11 e 99 Ω sono collegate in serie ad un generatore di tensione 3V: quanto vale la tensione ai capi di ciascuna resistenza?
  • Cadute di tensione in un partitore di tensione e analogia gravitazionale.
• Sui problemi assegnati (soluzioni e commenti):
  • Stufetta:
    • nel caso di cavi ideali circola una corrente di 83.3A e la resistenza vale R = 0.144Ω;
    • i cavi reali hanno una resistenza di 0.011Ω ciascuno, quindi la tensione sulla resistenza della stufetta sarà 10.4V (partitore), la corrente 72.4A, potenza della stufetta 753W e potenza dissipata dai cavi 114W (si scaldano!);
    • importanza del dimensionamento dei cavi per:
      • evitare surriscaldamenti;
      • evitare cadute di tensioni (alcuni dispositivi possono funzionare "di meno", altri non funzionano affatto se la tensione è minore di una certa soglia): caso dei cavi per far partire auto con batteria scarica.
  • Circuito con generatore da 12V e tre resistori:
    • si suppone che sia stato risolto anche usando le leggi di maglie e nodi;
    • Soluzione mediante riduzione a circuiti equivalenti: R_2,3 = 11.54Ω, R_t = 21.54Ω, I_G = I₁ = 557mA, V₁ = 5.57V, V_2,3 = 6.43V, I₂ = 129mA,I₃ = 429mA, P_G = 6.69W, P₁ = 3.10W, P_2,3 = 3.58W, P₂ = 0.83W, P₃ = 2.76W.
  • Circuito con due generatori e tre resistori (“master example”):
    • correnti (con i versi usati a lezione):

      correnti		f2=0	f1=0
      I1 (mA)	40	21	19
      I2 (mA)	-30	-115.5	85.5
      I3 (mA)	10	-94.5	104.5

      → “principio di sovrapposizione”.
    • → completare (si dà ancora tempo per rispondere alle altre domande).
• Quattro resistenze “a ponte” (di Wheatstone): condizione fra le resistenze affinché sia equilibrato.
• Multimetro analogico: principio di funzionamento e modalità d'uso.
  • Schema per amperometro e voltmetro a pag. 1 di questo documento pdf.
  • Resistenza interna in modalità amperometro e voltmetro.
  • Esercizio: dallo schema, ricavarsi la resistenza interna quando viene usato come voltmetro nei fondo scala 2V e 10V.
• Misure di tensione, corrente (strumento in serie!) e resistenza (att. ad altre resistenze in parallelo o ad eventuali generatori!).
• Perturbazioni introdotte dagli strumenti. Voltmetro ideale (R_V → ∞) e amperometro ideale (r_A → 0).
  Esercizi per valutare l'entità delle perturbazioni:
  • Si immagini un generatore di f.e.m. f con in serie due resistenze R₀ (a lezione era stata dimenticata!) e R: valutare le tensione su R e confrontarla con la tensione misurata da un voltmetro di resistenza interna R_V.
    → Si esprima il rapporto fra tensione misurata e tensione ideale in funzione del rapporto fra R_p, parallelo fra R e R₀, e R_V.
  • Si immagini un generatore di f.e.m. f con in serie la resistenza R: si valuti la corrente che fluisce in R e la si confronti con quella misurata da un amperometro di resistenza interna r_A.
    → Si esprima il rapporto fra corrente misurata e corrente ideale in funzione del rapporto fra r_A e R.
• Carica/scarica del condensatore e analogia con 1) variazione di velocità oggetto che cade soggetto a forza totale mg - βv; 2) processo di termalizzazione.
  • Analisi del circuito con generatore, resistenza e condensatore posti in serie:
    • corrente che fluisce nel circuito e variazione di carica sulle armature del condensatore: I = dq/dt → dQ/dt;
    • I = (f - V_C)/R
      → dQ/dt = (f - V_C)/R
      → C dV_C/dt = (f - V_C)/R.
    • diventa, in forma canonica: dV_C/dt = - 1/τ (V_C - f), con τ = RC.
  • Esercizi:
    • risolvere l'equazione differenziale appena incontrata con le seguenti condizioni al contorno:
      1. V_C (t=0) = 0 e f ≠ 0 (carica);
      2. V_C (t=0) ≠ 0 e f = 0 (scarica).
    • Tabulare i valori V_C (t) in carica/scarica per R = 30MΩ e C = 2.2μF, ripostarli su carta semilog (distribuita a lezione) e ricostrire τ.
    • Valutare la corrente I(t) che circola nel circuito per i generici valori R e C (banalmente da =dQ/dt) e la tensione ai capi di R (legge di Ohm) in carica e scarica, cercando di farsi una ragione dei segni di I(t) e V_R(t).
    • Nota I(t) valutare la potenza P_G(t) erogata dal generatore e quella [P_R(t)] dissipata dalla resistenza.
    • Da P_G(t) e P_R(t) ricavarsi l'energia totale fornita dal generatore, quella dissipata dalla resistenza per effetto Joule e, per differenza, quella immagazzinata nel condensatore.
    • Infine, mostrare come durante la scarica l'energia del condensatore ricompare come energia termica per effetto Joule sulla resistenza.

 

Lezione 4 (7/4/10)

• Soluzioni ”esercizi” (alcuni di essi corrispondono a semplici parti della ”teoria” che possono essere ricavate per conto proprio)
  • Circuito ”master example”:
    • potenziali nei vari punti del circuito, posto V_C = 0: V_A = +1.8V, V_B = -300mV, V_D = -100mV.
    • corrente fra B e C bypassando R₂, risolto mediante il principio di sovrapposizione:
      • contributo dovuto al solo f₁: f₁/(R₁||R₃) = -257mA (ovvero da C a B);
      • contributo dovuto al solo f₂: f₂/R₃ = 190mA (ovvero da B a C);
      • corrente totale: -67mA (ovvero da C a B);
  • Batteria dell'auto:
    • 500A rappresentano la corrente massima alla tensione nominale e quindi, moltiplicata, per questa, fornisce la potenza massima;
    • 60Ah e' legata alla “capacità” della batteria, nel senso dell'energia immagazzinata in essa:
      • dimensionalmente è una carica elettrica e vale 60×3600C, che e' la carica che la batteria è in grado di erogare e che, moltiplicata per la differenza di potenziale, ci dà il lavoro che la forza elettromotrice è in grado di compiere;
      • ovvero, tale parametro indica che la batteria può erogare 60A per un'ora, 1A per 60 ore, etc., da cui si ricava l'energia che può fornire.
  • Ponte di Wheatstone:
    • affinché sia “bilanciato&rdquo la partizione da una parte deve essere uguale a quella dall'altra parte, ovvero il rapporto delle resistenze a sinistra deve essere uguale al rapporto di quelle a destra;
    • uso del ponte per misure di resistenza mediante due resistenze perfettamente note e un potenziometro di precisione.
  • Perturbazione introdotta dal voltmetro: caso di misura di tensione ai capi di un generatore (V₀) piu' una resistenza (R₀):
    • → partitore: V = V₀ R_V/(R₀ + R_V) = V₀ × 1/(1 + R₀/R_V).
  • Perturbazione introdotta dall'amperometro:
    • I = V₀ / (R₀ + r_A) = I₀ × 1/(1 + r_A/R₀), ove I₀ rappresenta il valore (ideale) imperturbato, ovvero I₀ = V₀/R₀ .
  • Soluzione dell'equazione differenziale che descrive carica e carica di un condensatore:
    • carica: V_C(t) = f (1 - e^-t/τ), da cui I(t) = dQ(t)/dt = C dV_C(t)/dt = f/R e^-t/τ e V_R(t) = R I(t) = f e^-t/τ;
    • scarica: V_C(t) = f e^-t/τ, da cui I(t) = -f/R e^-t/τ e V_R(t) = - f e^-t/τ.
    • Note sul significato dei segni e sulla somma, istante per istante, di V_C(t) e V_R(t).
    • Note sulla linearizazione di tali andamenti mediante grafici su carta semilog.
• Teorema di Thevenin:
  • dimostrazione (vedi appunti);
  • uso su circuito teorico e su scatola nera empirica;
  • applicazione al “master example”.
• Esercizi:
  • Completare esercizi in sospeso (in particolare considerazione energetiche su carica/scarica del condensatore).
  • Verifica del teorema di Thevenin sul 'master example', 'thevenizzato' fra i punti B e C (ovvero in parallelo a R₂), in particolare confrontare la corrente di corto circuito mediante dall'equivalente di Thevenin con quella valutata direttamente.
  • Si immagini di collegare, in parallelo a R₂(t) la resistenza R₄ = 5Ω: → calcolare I₄ e nuova differenza di potenziale ai capi di R₂(t).
  • Si immagini di aggiungere ancora, in parallelo a R₄ un condensatore di capacità 10nF: → valutare V_C(t).
  • Sull'esercizio della scorsa lezione a proposito della perturbazione apportata dal voltmetro: si mostri che quello cheinteressa è effettivamente il rapporto R_p fra R₀ e R.
  • Si consideri un generatore di tensione (V₀) con resistenza interna R₀, a cui è connessa una resistenza R:
    • si calcoli la potenza totale in funzione del rapporto delle due resistenze;
    • si calcoli la potenza erogata dal generatore verso l'esterno, ossia quella dissipata dalla resistenza “esterna” e, in particolare, per quale valore di R/R₀ essa è massima;
    • si calcoli l'efficienza η, definita come il rapporto fra l'energia (o potenza) erogata verso l'esterno e quella totale fornita dal generatore, in funzione di R/R₀.
• Inoltre: procurarsi quaderno di laboratorio (1 per coppia; chi è in dubbio sulla coppia si porti un quaderno proprio).

 

Lezione 5 (14/4/10)

• Rivedersi gli esercizi delle lezioni precedenti, soprattutto alla luce dello svolgimento del corso e della prima esercitazione di laboratorio.
• Ancora sul Teorema di Thevenin:
  • soluzione esercizi sul master example:
    • V_eq = -300mV; R_eq = 4.5Ω;
    • aggiungendo una resistenza R₄ in parallelo a R₂: → V₂ = V₄ = -158mV;
    • aggiungendo C in parallelo a R₂ e R₄, il nuovo equivalente di Thevenin di generatore e resistenza ha V_eq' = -158mV e R_eq' = 2.4Ω; quindi il condensatore si caricherà asintoticamente a -158mV con costante tempo &tau = 2.4μs.
  • Esercizio: ponte di Wheatstone 'sbilanciato', con resistenza r: calcolare la corrente che scorre in questa resistenza.
• Generatori di corrente ed equivalente di Norton: generatore di corrente I₀, con resistenza in parallelo R_eq;
  • Relazione fra i parametri degli equivalenti di Thevenin e di Norton:
    • R_eq^(N) = R_eq^(T);
    • I₀^(N) = V_eq^(T) / R_eq
  • Esercizi:
    • mostrare come ai capi dell'equivalente di Norton la tensione a circuito aperto vale V_eq^(T), mentre la corrente di corto circuito vale I₀^(N);
    • si immagini di applicare agli equivalenti di Thevenin e di Norton dello stesso circuito una resistenza 'di carico' R: mostrare che la corrente che attraversa R è la stessa per entrambi gli equivalenti;
    • si ha una scatola nera e viene misurata la tensione fra i punti A e B (ovvero V_A-V_B) e la corrente di corto circuito; esse valgono 5V e 100mA. Si ha anche una seconda scatola nera, per la quale si misurano V_A'-V_B' = 3V e una corrente di corto circuito di 300mA. Successivamente le due scatole nere vengono collegate fra di loro, A con A' e B con B'. Valutare la tensione che si misurerà fra i punti A e B. (Soluzione illustrata in classe.)
• Modellizzazione secondo il teorema di Thevenin di un generatore reale: V_eq = f e R_eq = R₀.
  • Applicazione: trasferimento di potenza (→ ultima serie di esercizi della scorsa lezione):
    • Potenza erogata dal gen: f² / ( R₀ + R) = f² / R₀ × 1/(1 + R/ R₀), ovvero P_max / (1 + R/ R₀) , ove P_max = f² / R₀ è la resistenza massima che il generatore può erogare (per R = 0).
    • Potenza 'esterna' (su R): P_ext = f² / R₀ = P_max × R R₀ / (R+R₀)² :
      → nulla per R = 0 e R = ∞;
      → massima potenza trasferita per R = R₀; vale P_max/4.
    • Efficienza: η = P_ext/P_tot = 1 / (1 + R₀/R):
      → max per R → ∞ (ovvero R >> R₀/R).
    • Esercizio: graficare le espressioni di P_ext e di η in funzione di R e ricavarsi il valore di R per il quale si ha il massimo trasferimento di potenza.
• Oscilloscopio a raggi catodici.
  • Introduzione qualitativa al suo principio di funzionamento (e a quello dei televisori a raggi catodici).
  • Illustrazione dei comandi fondamentali (per dettagli vedi dispensa suggerita e appunti online De Bernardis/Masi).
• Circuito RC in “regime sinusoidale”, ovvero alimentato da un generatore sinusoidale V(t) = V₀ cos ωt, con periodo T = 2π/ω.
  • Casi limite per τ << T (la tensione del condensatore segue quelal dell'ingresso) e quando τ >> T (il condensatore non ha tempo di caricarsi alla tensione di alimentazione → onda triangolare di ampiezza piccola).
  • equazione differenziale per risolvere il caso generale: V(t) - R dQ/dt - Q(t)/C = 0, ovvero V(t) - τ dV_C/dt - V_C(t) = 0:
    • soluzione omogenea importante solo all'accensione (il tansiente si spegne con costante di tempo τ);
    • soluzione particolare è 'forzata' alla frequenza del generatore ed è perciò del tipo V_C(t) = V_C0 cos(ωt + φ_C):
      → V_C0 e φ_C in funzione della frequenza e dei parametri del circuito (riassunti in τ)
    • sostituendo la soluzione “di prova” nell'equazione differenziale si ottiene:
      V₀ cos ωt + τω V_C0 sin(ωt + φ_C) - V_C0 cos(ωt + φ_C) = 0
      → una equazione con due incognite? ;-) ...
    • Continuare da soli (le indicazioni per risolvere l'arcano sono già state date a lezione) trovare l'espressione di V_C0 e di φ_C in funzione di ω e τ (e V₀, che in realtà dà solo la scala del problema).
    • Esercizio: un modo alternativa per risolvere il problema consiste nel passare a variabili complesse:
      • soluzione di prova complessa (lettere minuscole) v_C(t) = V_C0e^{j(ωt + φ_C)}, di cui la soluzione fisica è la parte reale, ovvero V_C(t) = Re[v_C(t)], come si può verificare facilmente;
      • è conveniente fattorizzare v_C(t) in una parte dipende dal tempo e una indipendente: v_C(t) = [V_C0e^jφ_C]×e^jωt;
        → ovvero, chiamando la parte non dipendente dal tempo v_C0 [=V_C0e^jφ_C], riscriviamo la soluzione di prova come v_C(t) = v_C0e^jωt;
      • inserire la soluzione di prova v_C0e^jωt nell'equazione differenziale e ricavarsi v_C0;
      • trovata la soluzione complessa v_C0, ricavarsi le espressione di V_C0 e φ_C.
    • Infine: una volta trovata l'espressione della tensione V_C(t) ai capi del condensatore:
      • ricavarsi l'espressione della corrente che circola nel circuito (banalmente dQ/dt = CdV_C/dt) e della tensione V_R(t) ai capi della resistenza (banale legge di Ohm);
      • esprimere I(t) e V_R(t) come I₀cos(ωt + φ_I) e V_R0cos(ωt + φ_R), rispettivamente, e ricavarsi le relazioni che intercorrono fra φ_C, φ_I e φ_R.

 

Lezione 6 (20/4/10)

• Commenti sulla prima esercitazione:
  • alcuni gruppi hanno bisogno di rivedersi le raccomandazioni sul logbook, l'uso delle cifre significative della carta millimetrata (soprattutto semilog).
  • commenti sulle esperienze:
    1. calibro e importanza di leggere al meglio gli strumenti analogici (con digressione sulla misura della longitudine e sulla prima misura della velocità della luce
       per ulteriori dettagli, vedi qui,
       mentre per approfondimenti (decisamente fuori programma!):

       Dava Sobel, Longitudine. Giulio Verne, L'isola misteriosa Per gli argomenti scientifici toccati, vedi, ad es. Voce su wikipedia francese Da Talete a Jules Verne Lune di Giove, fenomeni medicei e misura della longitudine. Congiunzione, opposizione, etc. Ole Rømer. Altri interessanti esercizi/attività dallo stesso sito di Rømer e la velocità della luce.

    2. Collanina cortocircuitata agli estremi: semplice applicazione di resistenze in serie e in parallelo.
    3. Partitore di tensione con diversi strumenti e diversi fondi scala:
       • se con il voltmetro di resistenza interna R_V si esegue una misura di tensione ai capi di n R, non si misurerà f ×n/N (partitore fra nR e (N-n)R, bensì il partitore fra R_p e (N-n)R, ove R_p sta per il parallelo fra (N-n)R e R_V.
    4. Carica e scarica del condensatore:
       • il condensatore non si carica alla tensione del generatore a causa della resistenza del voltmetro, posta in parallelo al condensatore:
         • quando il condensatore si è caricato scorre ancora corrente nel circuito: → le resistenze R e R_V diventano in serie (stessa corrente - non lo erano inizialmente!): → partitore fra R_V e R;
         • equivalente del circuito composto dal solo generatore e resistenze ai capi del condensatore (staccato):
           • V_eq data dal partitore fra R_V e R;
           • R_eq data dal parallelo fra R_V e R;
           • → la perturbazione cambia la tensione di carica e la costante di tempo dello stesso fattore!
         • differenza fra scarica spegnendo il generatore (il condensatore si scarica sul parallelo fra R_V e R) e scarica staccando il generatore (il condensatore si scarica sulla sola R_V).
  • Per proseguimento analisi dati dell'esercitazione vedi file aggiuntivo nella giornata dell'esperienze (sito principale del corso)
• Ancora su oscilloscopio, in particolare sul significato e le modalità di trigger.
• Soluzione esercizio su soluzione trigonometrica dell'RC 'sinusoidale':
  • V₀ cos ωt + τω V_C0 sin(ωt + φ_C) - V_C0 cos(ωt + φ_C) = 0 non è una sola equazione, ma infinite equazioni (non indipendenti), una per ogni valore di t.
    Scegliendo t=0 e t=T/4 si hanno le seguenti equazioni:
    1. V₀ - τω V_C0 sin(φ_C) - V_C0 cos(φ_C) = 0;
    2. τω V_C0 sin(&pi/2 + φ_C) - V_C0 cos(π/2 + φ_C) = 0, che può essere riscritta τω V_C0 cos(φ_C) + V_C0 sin(φ_C) = 0.
  • Dalla seconda equazione abbiamo tan(φ_C) = -ωτ = -ω/ω_T = -ν/ν_T, avendo definito ω_T = 1/τ (pulsazione di taglio), da cui ν_T = 1/2πτ (frequenza di taglio).
    • Esercizio: studiare (anche aiutandosi con grafici al computer) φ_C in funzione della frequenza.
  • Sostituendo il valore di φ_C = argtan(-ω&tau) nella prima equazione si trova
    • V_C0 = V₀ / sqrt(1 + ω²τ²) = V₀ / sqrt(1 + ω²/ω_T²) = V₀ / sqrt(1 + ν²/ν_T²).
    • Esercizio: studiare (anche aiutandosi con grafici al computer) V_C0 in funzione della frequenza.
  • Significato della frequenza di taglio: circuito RC come filtro: passa basso.
  • Filtro complementare (passa alto) prelevando la tensione di uscita ai capi di R (ragionamento qualitativo).
  • Attenuazione dell'ampiezza di tensione per ν=ν_T e modo per determinare empiricamente ν_T.
• Da V_C(t) a V_R(t):
  • V_R(t) = RdQ/dt = τdV_C/dt;
  • derivate ”da fisico“ di seno e coseno (rispetto al tempo): ogni derivata equivale a moltiplicare per ω e sfasare di +&pi/2.
    • →analogia cinematica con moto circolare uniforme.
  • → V_R(t) = ωτV_C0cos(ωt + φ_C + π/2), ovvero:
    • V_R0 = ωτV_C0;
    • φ_R = φ_C + π/2;
  • Esercizi:
    • riscrivere in modo opportuno V_R0 in funzione della tensione del generatore, della frequenza e della frequenza di taglio;
    • fare il confronto (anche mediante grafici) di V_R0 V_C0, verificando, fra l'altro, che il filtro realizzato prelevando l'uscita ai capi di R è un passa alto;
    • idem per gli sfasamenti (riflettere sul significato di 'anticipo' e 'ritardo');
    • in particolare, valutare quanto valgono ampiezze e sfasamenti alla frequenza di taglio.
  • Altri esercizi:
    • Valutare quanto I(t) e, riscrivendo anch'essa come una funzione coseno con opportuna ampiezza e fase:
      • ricavarsi ampiezza e fase;
      • calcolare il rapporto fra V_C0 e I₀: che significato potrebbe avere questo rapporto?
    • Supponiamo che la tensione ai capi di un ipotetico elemento circuitale dipenda dalla derivata dell'intensità di corrente (con un fattore di proporzionalità che indichiamo con L): ricavarsi quanto vale la tensione ai capi di questo elemento (sempre espressa come ampiezza e fase rispetto al generatore).

 

Lezione 7 (21/4/10)

• Alcuni 'problemi' in sospeso:
  • Bilancio energetico nella carica/scarica del condensatore:
    • carica (ove Q è la carica finale):
      • energia fornita dal generatore (o dal suo equivalente di Thevenin nel caso di 'complicazioni'): fQ = f(Cf) = Cf²;
      • energia dissipata per effetto Joule dalla resistenza: P_J(t) = RI²(t), con I(t) = f/R e^-t/τ. Ne segue E_J = ∫₀^∞P_J(t)dt = 1/2 C f².
        → Che fine ha fatto l'energia residua? → E_C = 1/2 C f².
      • Se E_C = 1/2 C f² è un'energia deve 'rispuntare'.
    • scarica: P_J(t) = RI²(t), con I(t) = -f/R e^-t/τ:
      → quindi la resistenza dissipa esattamente la stessa energia nei processi di carica e di carica e di scarica, ogni volta pari a quella immagazzinata dal condensatore.
    • Carica del condensatore e allungamento di una molla:
      • lavoro infinitesimo necessario per aggiungere una carica infinitesima dQ ad un condensatore: dL = dQ V_C = dQ (Q/C) = 1/C QdQ;
      • lavoro infinitesimo necessario per allungare di dx una molla già allungata di x: dL = dx (kx) = kxdx.
      • Quindi, come nel caso della molla l'energia immagazinata è 1/2 kx², così nel caso del condensatore avremo 1/2 (1/C) Q².
    • Altri problemi curiosi sui condensatori:
      • condensatori caricati (capacità diverse e tensioni diverse) e poi collegati in 'parallelo' (+ con + e - con -): bilancio energetico;
      • bilancio energetico della carica di un condensatore connesso direttamente al generatore.
  • ponte di Wheatstone sbilanciato con resistenza aggiuntiva:
    • calcolo della tensione equivalente;
    • resistenza equivalente: provare ancora.
• RC in regime sinusoidale:
  • Interesse sul regime sinusoidale:
    • motivi pratici per cui la tensione di rete è sinusoidale: generatori e trasformatori
      (per inciso: convenienza a trasporare l'energia elettrica ad alta tensione);
    • interesse teorico/pratico dello studio della risposta dei circuiti in funzione della frequenza
  • riepilogo delle varie formule ottenute per ampiezza della tensione e suo sfasamento in funzione della frequenza:
    • ai capi di C:
      • V_C0 = V₀ / sqrt(1 + ω²τ²) = V₀ / sqrt(1 + ω²/ω_T²) = V₀ / sqrt(1 + ν²/ν_T²);
      • &phi_C = -atan(ωτ) = - atan(ω/ω_T) = - atan(ν/ν_T).
    • ai capi di R:
      • V_R0 = V₀ / sqrt(1 + 1/(ω²τ²)) = V₀ / sqrt(1 + ω_T²/ω²) = V₀ / sqrt(1 + ν_T²/ν²);
      • &phi_R = &phi_C + π/2 = atan(ν_T/ν).
        [tan(α + π/2) = -cotg(α).]
• Misure di carica/scarica del condensatore con oscilloscopio.
• Misure di laboratorio in regime sinusoidale.
• Soluzione mediante l'uso di variabili complesse (essenzialmente soluzione degli ultimi esercizi della lezione 5).
  • Alcune regolette utili per l'uso dei numeri complessi:
    • il modulo del prodotto di numeri complessi è al prodotto dei moduli dei numeri complessi; analoga regola per il rapporto;
    • la fase del prodotto è pari alla somma delle fasi, mentre la fase del rapporto è alla differenza fra la fase del numeratore e quella del denominatore;
    • la fase del numero complesso a può essere calcolata dalla relazione tanφ = Im(a)/Re(a);
  • Esercizio: continuare i conti per ricavarsi
    • V_C0 e φ_C;
    • I₀ e φ_I;
    • V_R0 e φ_R.
    (essenzialmente stesso esercizio proposto la settimana scorsa).

 

Lezione 8 (28/4/10)

• Soluzione dell'RC con variabili complesse (essenzialmente soluzione degli esercizi proposti a partire dalla lezione 5).
  • v - v_R - v_C = 0
    v - R dq/dt - v_C = 0
    v - RC dv_C/dt - v_C = 0
    v - jωτ v_C - v_C = 0
    V₀ - jωτ v_C0 - v_C0 = 0
    ovvero
    • v_C0 = V₀ / (1 + jωτ),
    da cui, prendendo modulo e fase si ottengono i risultati che già conosciamo.
  • Per quanto riguarda la tensione ai capi di R:
    • v_R0 = jωτ v_C0 = V₀ / (1 + 1/(jωτ)) = V₀ / (1 - j/ωτ) ,
      riottenendo in questo caso i ben noti risultati.
• Proporzionalità complessa fra ampiezza di tensione e ampiezza di corrente: → impedenza complessa:
  • v_R0 = R i₀, ovvero i₀ = v_R0/R;
  • v_C0 = 1/(jωC) i₀, ovvero i₀ = jωC v_C0
    → relazione fra moduli e fasi:
    • I₀ = ωC V_C0;
    • φ_I = φ_C + π/2
    (corrente e tensione ai capi di R sono invece in fase in quanto differiscono di un fattore reale).
• Induttore:
  • introduzione qualitativa e modello matematico;
  • circuito con generatore e resistenza, induttanza e capacità in serie, in notazione complessa:
    • v - v_R - v_L - v_C = 0
      v - R i - L di/dt - jωC i = 0
      v - R i - jωL i - 1/(jωC) i = 0
      V₀ - R i₀ - jωL i₀ - 1/(jωC) i₀ = 0,
      da cui
      • i₀ = V₀ / (R + jωL + 1/(jωC))
        i₀ = V₀ / (R + j(ωL - 1/ωC)).
  • la relazione tensione/corrente per l'induttanza è
    • v_L0 = jωL i₀, ovvero i₀ = v_L0 / (jωL) → ne segue che V_L0 = ωL I₀ e che la tensione ai capi di L anticipa di π/2 la corrente (ovvero la tensione ai capi di R) e quindi anticipa di π la tensione ai capi di C.
• Metodo simbolico:
  • Si considerano grandezze complesse, indicate usualmente con sopra la freccetta di vettore, in questi appunti online in grassetto, ad es. V_R, V_C, etc.;
  • queste grandezze complesse contengono solo ampiezze e fasi (relative al generatore), ma non la dipendenza temporale, quindi in effetti V_R = v_R0, etc.;
  • le grandezze fisiche sono riottenute moltiplicando per la dipendenza temporale e^jωt e prendendo la parte reale;
  • i rapporti tensione/corrente, sono numeri complessi indicati usualmente con Z: → impedenze (generalmente) complesse, ovvero:
    • Z_R = R;
    • Z_C = 1/(jωC) = - j/ωC;
    • Z_L = jωL;
  • i rapporti tensione/correnti possono essere interpretati come una estensione della legge di Ohm, nel senso che V_R = Z_R I, V_C = Z_C I e V_L = Z_L I;
  • le impedenze obbediscono alle usuali regole di combinazione di serie e parallelo, ad es. Z_s = Σ_i Z_i;
  • si estendono a queste grandezze le usuali regole sui circuiti in corrente continua, incluso il concetto di partitore (ma la partizione può essere complessa, nel senso che può dar luogo a sfasamenti) e il teorema di Thevenin.
  Si ricorda indine come il metodo simbolico vale solo in regime sinusoidale in quento si basa sulle proprità delle derivate delle funzioni sinusoidali.
• Risoluzione dell'RLC serie in regime sinusoidale mediante il metodo simbolico:
  • I = V₀ / Z
    I = V₀ / (Z_R + Z_L + Z_C)
    I = V₀ / (R + jωL + 1/(jωC)) =V₀ / (R + j(ωL - 1/ωC)) ,
    da cui seguono V_R = Z_R I, etc.
  • Studio della tensione ai capi della resistenza (e quindi della corrente):
    • V_R0 = V₀ / √(R² + (ωL - 1/ωC)²)
      → comportamento risonante, con massimo per ω = 1/√(LC);
      → V_R0(ω = 1/√(LC)) = V₀ / R, “come se L e C non ci fossero”;
    • φ_R = -atan((ωL - 1/ωC)/R) = atan((1/ωC - ωL)/R):
      va da π/2 a -π/2 per &omega che va da 0 a ∞, passando per 0 in corrispondenza della frequenza di risonanza.
  • Fasi delle tensioni ai capi di C e di L:
    in virtù delle regole generali:
    • φ_C = φ_R - π/2
    • φ_L = φ_R + π/2
  • Studio dell'impedenza totale della serie di R, L e C in funzione della frequenza:
    • parte reale costante, pari a R;
    • parte immaginaria va da -∞ a +∞, annullandosi in corrispondenza della frequenza di risonanza;
    • modulo tende a ∞ per ν → 0 e ν → ∞, con un minimo in corrispondenza della frequenza di risonanza;
    • la fase va da -π/2 a +π/2 e si annulla in corrispondenza della frequenza di risonanza;
    • osservazione: la fase della corrente (e quindi della tensione ai capi di R) è opposta a quella dell'mpedenza totale.
  • Esercizi
    • studio delle ampiezze tensione ai capi di C e di L;
    • in particolare, valutare quanto valgono le ampiezze di tali tensioni in corrispondenza della frequenza di risonanza.
• Analogia con moto circolare uniforme su cerchio di raggio R:
  • si consideri il raggio vettore (dall'origine al punto che ruota) come un numero complesso la cui parte reale corrisponde alla coordinata x e la parte immaginaria alla y: r = R e^jωt, quindi
    • si calcolino velocità e accelerazione e si mostri come tali grandezze ruotano anticipando r rispettivamente di π/2 e di π.
• Circuito RL: generatore di tensione (costante) con in serie resistenza e induttanza:
  • f - RI - LdI/dt = 0
    Esercizi:
    • trovare la forma di I(t) dal momento dell'accensione;
    • trovare la forma di I(t) dal momento dello spegnimento.
• Circuito LC (ideale: qualche resistenza deve esserci!):
  si supponga che un condensatore venga caricato e quindi venga posta una induttanza fra le sue armature:
  • - L dI/dt - V_C = 0
    - LC d²V_C/dt² - V_C = 0
    
  • Esercizi:
    • verificare che si hanno oscillazioni armoniche delle grandezze di interesse;
    • trovare V_C(t) e V_L(t).
• Altro esercizio: si supponga che un condensatore venga caricato e quindi vengano poste una resistenza e una induttanza fra le sue armature:
  • verificare che V_C(t) si comporta come un oscillatore smorzato;
  • trovare i parametri dell'oscillazione smorzata.

 

Lezione 9 (5/5/10)

• Segue RLC serie in regime sinusoidale
  • Unità di misura SI dell'induttanza: Henry (H), tipicamente mH.
    Note
    • 1Ω = 1H × 1s^-1;
    • avendo Z_L e Z_C le stesse dimensioni di R, ne segue che [Ω] = [s × F^-1] e [Ω] = [s^-1 × H].
  • Fasori e vettori ruotanti (con solita analogia cinematica).
  • Tensione ai capi di R (e intensità di corrente, proprzionale ad essa):
    • può essere visto come filtro passa banda;
    • misura 'convenzionale' della larghezza di banda: intervallo Δν fra ν₁ e ν₂, tali che V_R0(ν₁) = V_R0(ν₂) = V_R0(ν₀)/√2
      → Δν = ν₂ - ν₁ (e, analogamente, Δω = ω₂ - ω₁ );
      → parte reale e parte immaginaria dell'impedenza sono uguali in modulo;
      → ovvero sfasamento di V_R (e di I) è pari a ±π/4;
      → ovvero A = V_R0/V₀ = 1/√2.
    • Dipendenza di Δω dai parametri del circuito nell'approssimazione in cui la `risposta' ai capi di R sia molto `stretta' e circa simmetrica, ovvero ω₂ - ω₀ ≈ ω₀ - ω₁
      (troviamo solo ω₂ > ω₀, da cui ω₁ per simmetria):
      • R = ω₂L - 1/ω₂ = ω₂L (1 - 1/(ω₂²LC)) = ω₂L (1 - ω₀²/ω₂²) = ω₂L (1 - ω₀/ω₂) (1 + ω₀/ω₂) = ω₂L ((ω₂ - ω₀)/ω₂) ((ω₂ + ω₀)/ω₂) ;
      • ma nell'ipotesi di risposta stretta, scrivendo ω₂ = ω₀ + Δω/2 ed espandendo al primo ordine in Δ&omega:
        R ≈ L Δω, ovvero Δω ≈ R/L .
      • Inverso della larghezza di banda relativa, ovvero ω₀ / Δω (e quindi ν₀ / Δν):
        ω₀ / Δω = ν₀ / Δν ≈ (1/√LC) × L/R = √(L/C) / R: → Q, fattore di qualità (o di merito):
        → un circuito con Q elevato è molto selettivo!
      • Nota: in pratica si possono realizzare circuiti con valori di Q molto elevati, ad es. 100, 1000, o addirittura molto di più (nelle esercitazioni ci limiteremo a Q ≈ O(10)).
    • Esercizo calcolare la tensione ai capi di R tenendo conto che ci sono altre resistenze nel circuito, ovvero la resistenza R₀ del generatore e la resistenza R_L dell'induttanza.
  • Tensione ai capi di C e di L:
    • limiti di V_C0 e V_L0 per frequenze che tendono a zero e a infinito (partitore!);
    • forma qualitativa di V_C0 e V_L0 in funzione della frequenza, ricordando che V_C0 = |Z_C| I₀, che V_L0 = |Z_L| I₀ e che l'andamento di I₀ è risonante:
      → saper dire, qualitativamente, per quale frequenze sono massime le ampiezze di tensione ai capi di C e di L;
    • ampiezza e fase delle tensioni ai capi di C e di L in corrispondenza della frequenza di risonanza:
      • esprimere le empiezze massime in funzione del fattore di merito Q;
      • V_C(t) + V_L(t) alla frequenza di risonanza;
    • Nota:
      → induttore puro in pratica non esiste;
      → induttore reale è modellizzato da resistenza in serie R_L in genere tutt'altro che trascurabile.
• Circuito RL: I(t) all'accensione e allo spegnimento
  • f - RI - LdI/dt = 0, ovvero dI/dt = - R/L (I - f/R):
    → soliti andamenti esponenziali con τ = L/R;
  • notare il ruolo inerziale di L che proibisce discontinuità della corrente (sia all'accenzione che allo spegnimento).
  • Esercizi:
    • valutare V_R(t) sia all'accensione che allo spegnimento;
    • dall'energia dissipata per effetto Joule durante lo spegnimento, valutare l'energia immagazzinata nell'induttore quando circolava una corrente I.
• Circuito (ideale) LC: scarica di un condensatore su un'induttanza:
  • - LdI/dt - Q = 0, ovvero d²I/dt² + 1/(LC) Q = 0:
    • oscillatore armonico con pulsazione 1/√(LC):
      → V_C(t) = V_C0 cos(ω₀ t)
      → la carica sul condensatore inverte polarità ogni semiperiodo;
      → I(t) = -ω₀C V_C0 sin(ω₀ t)
      → Esercizi:
      • verificare che il prodotto LI² ha le dimensioni di una energia;
      • dal principio di conservazione e dall'osservazione che quando il condensatore è completamente scarico l'energia iniziale è completamente immagazzinata nell'induttore, trovare l'espressione di tale energia in funzione di L e di I.
• Scarica di condensatore su R e L in serie (ovvero RLC serie in onda quadra con periodo `sufficiente lungo')
  (essenzialmente ultimo problema proposto la scorsa lezione)
  • Condizioni iniziali:
    • Q(t=0) = Q₀ = C V_C0;
    • I(t=0) = 0;
  • per i dettagli, incluse analogie meccaniche vedi osc_smorz.pdf (fino alla formula 75):
    in particolare
    • soluzione sottosmorzata e misure di γ e pseudoperiodo;
    • formula 68, che dà l'energia del sistema in funzione del numero di oscillazioni e del fattore di merito (definito dalla formula 71);
    • Esercizi:
      • verificare che il fattore di qualità definito nella (71) ha la stessa espressione (in funzione dei parametri del circuito) di quello definito dalla larghezza di banda;
      • in quanti e quali modi si può misurare in laboratorio tale fattore di merito?
      • si noti la relazione fra larghezza di banda (nel dominio della frequenza) e γ nel dominio del tempo (onda quadra).

 

Lezione 10 (12/5/10)

• Ancora sull'equivalente di Thevenin del ponte di Wheatstone sbilanciato: insomma, R_eq?
• Ancora su RC sinusoidale: qualcuno avrà notato durante l'esercitazione che i picchi di V_C e V_R giacciono sempre sulla sinusoide del generatore, come se al variare della frequenza scivolassero sul profilo sinusoidale rispettivamente a destra (V_C) e a sinistra (V_R):
  • problema: perché?
• Ancora su “oscillatore forzato”, che è un modo alternativo di vedere l'RCL in regime sinusoidale (che abbiamo risolto mediante il metodo simbolico) e che ha l'analogo nelle oscillazioni meccaniche con forza modulata in modo sinusoidale [F(t) = F₀ cos(ωt)]:.
  • ancora analogie: x(t) ↔ Q(t)  [e quindi x(t) ↔ V_C(t)]; v(t) ↔ I(t) ;
  • fattore di merito nel caso meccanico: Q = √(k m)/β;
  • motivo per cui in risonanza sono in fase F(t) e v(t) [ovvero V(t) e I(t), e quindi V_R(t)]:
    • P = F v: → il trasferimento ottimale di energia si ha quando F(t) e v(t) sono in fase
      ⇒ esempio dell'altalena.
• Ancora RCL serie in regime sinusoidale.
  • Effetti di partizione:
    • Comportamento della tensione all'uscita del generatore (“V_out”):
      → partizione complessa: V_out/V₀ = [R + R_L + j(ωL - 1/ωC)] / [R₀ + R + R_L + j(ωL - 1/ωC)]:
      • limiti per &omega → 0 e &omega → ∞: V_out/V₀ → 1:
        ⇒ stessa tensione e fase del generatore;
      • in risonanza: V_out/V₀ = [R + R_L] / [R₀ + R + R_L]:
        ⇒ banale partizione resistiva (V_out e V₀ in fase):
        • il fatto che in risonanza V_out e V₀ siano in fase è cruciale ai fini della determinazione della frequenza di risonanza mediante il metodo dell'ellisse.
      • Esercizio: con l'uso del linguaggio preferito calcolare e graficare la fase di V_out in funzione della frequenza.
    • Tensione ai capi di R:
      ⇒ ovviamente in risonanza non si osserverà V₀, bensì un'opportuna partizione.
  • Massimi di tensione ai capi di C e di L (ideale):
    • “si può dimostrare che“ (dimostrazione e conoscenza esatta delle formule che seguono sono fuori programma, ma è importante sapere l'andamento qualitativo), per Q > 1/√2:
      ω_maxC = ω₀ √((2 Q² - 1) / (2Q²))
      ω_maxL = ω₀ √((2Q²) / (2 Q² - 1)) ovvero, i rapporti fra le due frequenze di massimo e la frequenza di risonanza sono dati rispettivamente da
      • √(1 - 1/(2Q²)) ≈ 1 - 1/(4Q²);
      • √((1 - 1/(2Q²))^-1) ≈ 1 + 1/(4Q²);
      → per Q abbastanza elevanti, praticamente i massimi sono in corrispondenza della frequenza di risonanza.
• Metodo dell'ellisse per la misura dello sfasamento.
  • Date due grandezze fisiche generiche
    x(t) = X cos(ωt)
    y(t) = Y cos(ωt + φ)
    con X e Y le generiche ampiezze, si può dimostrare facilmente che i punti x(t) e y(t) descrivono un'ellisse:
    • scrivendo, dalla prima equazione, cos(ωt) = x/X e sostituendolo nella seconda, riscritta come
        y = Y [cos(ωt) cos(φ) - sin(ωt) sin(φ)]
      si ottiene:
        y = Y[x/X cos(φ) - √(1 - (x/X)²)sin(φ)]
      da cui:
        y/Y = x/X cos(φ) - √(1 - (x/X)²)sin(φ)
        x²/X² + y²/Y² - 2 xy/(XY) cos(φ) = sin²(φ).
    • Casi notevoli per φ pari a 0, ±π/2 e ±π.
  • Applicazione alla misura di sfasamento con oscilloscopio:
    • modalità XY: il movimento orizzontale del fascetto di è del fascetto di elettroni non è più lineare con il tempo, bensì segue il segnale di ingresso sul canale 1 (X);
    • per x = 0:
        y²(x=0)/Y² = sin²(φ)
        → |sin(φ)| = |y²(x=0)|/Y;
    • in pratica si esegue la misura come
         |sin(φ)| = a/b, ove b = 2Y e a = 2|y²(x=0)|, in pratica la lunghezza del segmento sull'asse verticale intercettato dall'ellisse.
    • Pro e contro del metodo dell'ellisse:
      • molto sensibile alla frequenza di risonanza, riconoscibile dalla degenerazione dell'ellisse in un segmento;
      • MA:
        • insensibile al segno dello sfasamento^(*);
        • richiede che sia possibile inviare simultaneamente i due segnali all'oscilloscopio
          (quando ciò non è possibile, è comunque possibile, grazie al trigger esterno, inviare un segnale alla volta all'oscilloscopio e misurare la differenza di fase dal ritardo temporale.
      • ^(*)Nota: il segno della fase cambia il verso di percorrenza dell'ellisse del punto {x(t),y(t)}, ma tale verso non è osservabile in pratica.
• Ancora questioni energetiche su RCL in onda quadra (oscillatore smorzato):
  • soluzione dell'esercizio proposto la volta scorsa per dimostrare che l'energia associata all'induttanza vale 1/2 L I²;
  • energia iniziale del sistema (solo nel condensatore): E₀ = 1/2 C V_C²(t=0);
  • al tempo t:
       E(t) = E_C(t) + E_L(t) = 1/2 C V_C²(t) + 1/2 L I²(t):
    • andamento complicato, con massima potenza dissipata [si pensi alla derivata di E(t)] quando la corrente è massima (effetto Joule va come I²).
  • Energia del condensatore dopo n pseudoperiodi segue andamento esponenziale decrescente
       E_C(n) = E₀ e^-n/n_c, con n_c = Q/2π [si veda dispensetta su oscillazioni smorzate o, ancora meglio, si provi a ricavare la formula come esercizio (ad un certo punto si fa l'approssimazione ω₁ ≈ ω₀, tipica dei casi sottosmorzati con molte oscillazioni)].
  • Esercizio: mostrare che, istante per istante, la potenza dissipata per effetto Joule è proporzionale all'energia immagazzinata nell'induttanza (e si ragioni sul significato del fattore di proporzionalità).
  Curiosità per gli appassionati di elettronica:
  • oscilloscopi 'minimalisti' interfacciati a PC mediante USB: vedi ad es.
    • http://www.picotech.com/ultracompact-oscilloscopes.htm (con generatore di segnali incorporato!)
    • http://www.picotech.com/picoscope-oscilloscopes.html
    • http://www.bitscope.com/
    (queste sono solo indicazioni, senza nessun giudizio su qualità e prezzo dei prodotti);
  • Arduino!

 

Lezione 11 (19/5/10)

• Note sulle esercitazioni:
  • Attenzione alle cifre:
    • in fisica sperimentale 3V ≠ 3.0V ≠ 3.00V etc.;
    • propagazioni 'ragionevoli delle cifre';
    • il nr. di cifre significative non dipende soltanto dallo strumento con il quale è stata effettuata la misura, ma anche dall'incertezza con la quale una certa relazione è da ritenersi soddisfatta:
        → esempi
      • di misura di resistenza interna del generatore con potenziometro (quanto siamo sicuri che V_R = V₀ / 2?);
        
      • esempio di misura della frequenza di taglio (quanto siamo sicuri che V_C = V₀ / √2?).
  • Ricordare che le più terribili domande d'esame saranno, riferendosi al logbook:
    • dimmi cosa hai fatto;
    • dimmi cosa avresti dovuto fare.
    (Qui habet aures audiendi, audiat...)
  • Prossima consegna quaderno: 8 o 10 giugno.
• Esercizi
  • Eccitazione e risposta in regime sinusoidale di induttore reale (ovvero considerando anche R_L), tenendo conto anche di R₀ del generatore.
    (Per fare conti e grafici al computer usare i componenti dell'esperienza dell'RCL.)
  • Calcolare A_R = V_R / V₀, A_C = V_C / V₀ e A_L = V_L / V₀, farne i limiti per &omega → 0, &omega → ω₀ e &omega → ∞ e, dai limiti delle grandezze complesse, ricavarsi i limiti di amplificazione e sfasamento.
    (Si consiglia di organizzare i risultati sotto forma tabulare.)
  • RCL parallelo:
    • generatore di corrente sinusoidale, ovvero I(t) = I ₀ cos(ωt);
    • resistore, condensatore e induttore (ideale) in parallelo fra di loro e connessi a tale generatore;
    •   → studio della tensione ai capi del parallelo:
      • limiti per ω → 0 e ω → ∞ (possibilmente senza fare conti!);
      • analisi di Z_p (impedenza del parallelo);
      • condizione di risonanza;
      • confronto con RCL serie.
• Ancora su oscillatore smorzato (si ricorda che la teoria generale è assunta sostanzialmente nota; per dettagli della soluzione vedi osc_smorz.pdf)
  • La soluzione sottosmorzata deve essere (a parte fattori moltiplicativi) e^-t/τcos(ω₁+φ) [formula 53] e non e^-t/τcos(ω₁):
    • il prodotto di una funzione decrescente per una costante (per t = 0) dà una funzione decrescente, ovvero con derivata (→ corrente!) diversa da zero;
    • φ deve essere negativa affinché il termine in coseno sia crescente in t = 0 e compensi l'andamento decrescente del'esponenziale;
    • in effetti, la fase può essere ottenuta imponendo che la derivata di e^-t/τcos(ω₁+φ) per t = 0 sia nulla: ⇒ tan(φ) = - 1/(τω₁) = - T₁/τ.
    (Attenzione alla formula errata sulla vecchia dispensa...)
• Attenuazioni e amplificazioni espresse in decibel:
  • In genere i rapporti espressi in decibel sono definiti come Ratio_dB = 10 log₁₀ x, ove x è il rapporto fra due valori di una grandezza fisica.
  • [Nota fuori programma: Weber-Fechner law.]
  • In fisica/ingegneria elettronica si assume che i rapporti siano applicati alle potenze:
    • PowerRatio_dB = 10 log₁₀(P₂/P₁)
    da cui:
      → 20 log₁₀(V₂/V₁)
  • valori tipici (-20dB corrisponde al tastino di attenuazione del generatore di segnali di laboratorio):

    dB	V2/V1
    +6	≈2
    -6	≈1/2
    +20	10
    -20	1/10
    -40	1/100

  • I rapporti espressi in decibel sono additivi.
• Potenza in corrente alternata (sinusoidale):
  • dato un componente (o un circuito di soli componenti passivi), se ai suoi capi si hanno V(t) e I(t) → potenza istantanea: P(t) = V(t) · I(t);
  • se V(t) = V₀ cos(ωt + φ_V) e I(t) = I₀ cos(ωt + φ_I):
      P(t) = V₀ · I₀ cos(ωt + φ_V) · cos(ωt + φ_I);
    
  • ne segue   P(t) = V₀ · I₀/2 [cos(φ_V-φ_I) + cos(2ωt + φ_V+φ_I)]:
    → termine oscillante (a frequenza doppia) su termine costante;
  • Potenza media su un periodo: solo termine costante:
      <P> = V₀ · I₀/2 · cos(φ_V - φ_I) = V_eff · I_eff · cos(φ_V - φ_I):
    • valori efficaci (in regime sinusoidale): V_eff = V₀ / √2 (idem per corrente);
    • fattore di potenza: cos(φ_V - φ_I)
  • Casi limite:
    • solo R: φ_V = φ_I; I_eff = V_eff / R:
        → <P> = V_eff · I_eff = V_eff² / R = R I_eff² (formule simili a C.C.!);
    • solo C e L:  φ_V - φ_I = ±π/2:
        → <P> = 0 (solo le resistenze dissipano energia!).
  • Ricordando che Z = V / I e che, in genere, Z = R + jX (con X `reattanza'):
    • cos(φ) = Re(Z) / |Z| = R / |Z|;
    • <P> = V<sub>eff</sub> · I<sub>eff</sub> · R / |Z|.
    [Nota: in generale Re(Z) non è semplicemente R sia causa di effetti parassiti (ad es. isteresi di induttanze), sia perché in circuiti complicati dipende da diversi parametri del circuito (ma sempre in modo tale che se non ci sono resistenze si annulla).]
  • Convenzionalmente, in C.A. i valori (inclusi quelli letti sui multimetri!) di tensioni e correnti si riferiscono ai valori efficaci e non alle ampiezze:
      → la “220 Volt” di casa ha un'ampiezza di √2×220 V! (620V picco-picco)
  • Watt ↔ V·A
  • Esercizi: si calcolino Z, Re(Z) e cos(φ) e se ne facciano i limiti per &nu → 0 e &nu → ∞ nei seguenti casi:
    • R e C in parallelo;
    • R e L in parallelo;
    • C e L in parallelo.
• Valori efficaci di grandezze fisiche periodiche, genericamente X(t)
  • definizione generale: valore quadratico medio
      → X<sub>eff</sub> =<X<sup>2</sup>>
      → X<sub>eff</sub><sup>2</sup> = 1/T ∫<sub>0</sub><sup>T</sup>X<sup>2</sup>(t) dt
  • casi particolari
    • X(t) sinusoidale, ad es. X<sub>0</sub> cosωt
        → X<sub>eff</sub> = X<sub>0</sub> / √2;
    • X(t) onda quadra fra -X<sub>0</sub> e +X<sub>0</sub>
        → X<sub>eff</sub> = X<sub>0</sub>
      • Esercizi: e per un'onda quadra fra 0 e X<sub>0</sub>? e se la frazione η del tempo in cui sta a X<sub>0</sub> (`duty cycle') è ≠ 50%?
    • X(t) triangolare fra -X₀ e +X₀
        → X_eff = X₀ / √3

 

Lezione 12 (26/5/10)

• Prossime lezioni: linea di trasmissione
    → si raccomanda di venire a lezione con la dispensa sull'argomento (linea.pdf).
• Introduzione modellistica al diodo.
  • Riepilogo degli elementi circuitali incontrati finora:
    • generatore di tensione (ideale): ddp costante ai suoi capi;
    • resistenza: ddp dipende linearmente dalla corrente
      (e segno legato al verso);
    • induttore (ideale): ddp dipende dalla derivata nel tempo dell'intensità di corrente;
    • capacitore: ddp dipende da carica accumulata sulle armature
      (e quindi dall'integrale dell'intensità di corrente).
  • Modello di ordine 0 del diodo:
    • una strana resistenza, il cui valore dipende dalla tensione fra anodo e catodo (V_D = V_A - V_C):
      • V_D ≤ 0 (ovvero V_A < V_C):
          → R_D = ∞
        (polarizzazione inversa);
      • V_D > 0 (ovvero V_A > V_C):
          → R_D = 0
        (polarizzazione diretta);
    • le applicazioni elementari di questo modello seguono le regolette di base dei circuiti;
      • in particolare, nel caso di diodo in serie ad una resistenza, basta applicare i ragionamenti generali basati sui partitori di tensione.
    • Esempi di generatore sinusoidale collegato a resistenza e diodo in serie (con i due possibili orientamenti del diodo).
  • Modello di ordine 1:
    • in realtà la conduzione avviene quando fra anodo e catodo c'è una ddp minima di V_γ (≈ 0.3 V per diodi al germanio e ≈ 0.6 V per diodi al silicio)
        → non ` trascurabile quando le tensioni in gioco sono piccole!
    • la corrente inversa (I<sub>0</sub>) non è esattamente nulla (ovvero R<sub>D</sub> = ∞), ma è comunque molto piccola e trascurabile per la maggior parte delle applicazioni [I<sub>0</sub> ≈ O(μA) per germanio e ≈ O(nA)];
    • la resistenza diretta ( R<sub>d</sub>) non è esattamente nulla, ma comunque molto piccola (ordine di grandezza dell'Ohm).
    • In pratica:
      • V<sub>D</sub> < 0:
          → R<sub>D</sub> ≈ ∞;
      • V<sub>D</sub> ≥ V<sub>γ</sub>:
          → il diodo può essere schematizzato come “una specie di equivalente di Thevenin“ con
        • R<sub>eq</sub> = R<sub>d</sub>;
        • V<sub>eq</sub> = V<sub>γ</sub> orientata da catodo verso anodo
        [ovvero, data una corrente I che scorre nel diodo (da anodo a catodo), V<sub>D</sub> = V<sub>A</sub> - V<sub>C</sub> = V<sub>γ</sub> + R<sub>d</sub> I].
    • Esempi precedenti rivisti alla luce di questa nuova modellizzazione.
    • Come valutare in laboratorio V<sub>γ</sub> e R<sub>d</sub>.
  • Altre applicazioni:
    • trasformatore da tensione sinusoidale (o comunque alternata) a tensione (circa) continua mediante l'aggiunta di un condensatore;
    • ponte a diodi: in approssimazione 0, V<sub>out</sub> = |V<sub>in</sub>|
      (ma attenzione all'effetto di V<sub>γ</sub>!).
    • Esercizio: circuito `limitatore' (descritto a lezione, quello con generatore sinusoidale, diodo, resistenza R e generatore di tensione costante V_p: → tensione ai capi della serie di R e V_p).
• Soluzione RCL parallelo (con induttore ideale)
  • Analisi qualitativa degli andamenti asintotici dell'impedenza:
    • per ω → 0 “si buca” l'induttore: ⇒ |Z_p| → 0;
    • per ω → ∞ “si buca” il condensatore: ⇒ |Z_p| → 0.
  • Calcolo di Z_p, da cui:
    • verifica dei limiti valutati qualitativamente;
    • modulo di Z_p per ω_p = 1/√LC: → R;
    • andamento della fase in funzione della frequenza.
  • Confronto RCL serie e RCL parallelo, in particolare loro dualismo se alimentati, rispettivamente, con generatore di tensione o di corrente:
    • RCL serie risuona in corrente (e quindi in V_R) se alimentato con gen. di tensione sinusoidale;
    • RCL parallelo risuona in tensione (ai suoi capi) se alimentato con gen. di corrente sinusoidale;
  • Comportamento del parallelo fra C e L (sempre con L ideale) e ragione fisica del motivo per cui n risonanza la loro impedenza è infinita: ai capi di LC c'è una tensione sinusoidale (si ricorda che LC ideale oscilla armonicamente), ma non cè corrente che entra o esce da esso.
• Un altro modo di vedere i filtri RC (passa basso) e CR (passa alto): circuiti integratore e derivatore
  • Per i dettagli vedi dispensa Circuiti elettrici.
  • Esempi di applicazioni di integratore e derivatore negli esperimenti di fisica.
  • Esercizi:
    • dato un segnale di ingresso sinusoidale, mostrare come nel limite di basse frequenze la tensione ai capi della resistenza è effettivamente proporzionale alla derivata della tensione del generatore (con fattore di proporzionalit` pari a τ per semplici ragioni dimensionali);
    • dato un segnale di ingresso sinusoidale, mostrare come nel limite di alte frequenze la tensione del generatore è effettivamente proporzionale alla derivata della tensione ai capi del condensatore.

 

Lezione 13 (9/6/10)

• Linea di trasmissione 1
  vedi linea.pdf (Nota: la dispensa è stata aggiornata!)

 

Lezione 14 (16/6/10)

• Linea di trasmissione 2