MODELLI e METODI MATEMATICI della FISICA

                                                                                            Fabio Riccioni

                                                                                                      Dipartimento di Fisica, Università degli studi di Roma "La Sapienza"

                                                                     anno accademico 2022-23, Canale Pf-Z

Testi consigliati:

• "A Guide to Mathematical Methods for Physicists: With Problems and Solutions", M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni, World Scientific.
• "A Guide to Mathematical Methods for Physicists: Advanced Topics and Applications", M. Petrini, G. Pradisi, A. Zaffaroni, World Scientific.
• "Metodi Matimatici della Fisica", F. Calogero (dispense)
  
• "Complex Analysis", L. V. Ahlfors, Mc Graw-Hill 1979.
• "Metodi Matematici della Fisica", C. Bernardini, O. Ragnisco, P. M. Santini,  Carocci Editore, Roma, 2013.
• "Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi Funzionale", A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin,  Edizioni Mir.
• "Appunti di Metodi Matematici della Fisica", Nino Zanghì, Università di Genova, online.
• "Elementi di Analisi Complessa", C. Presilla, Springer, 2014.
• "Rudimenti di Analisi Infinito-Dimensionale", F. Cesi (dispense).
• "Esercizi di metodi matematici per fisici e ingegneri", P. A. Grassi, Casa Editrice Ambrosiana.

Avvertenze per l'esame:

Durante lo scritto si può usare un solo libro. Formulari o appunti possono essere consultati su richiesta su supervisione del docente.

Per sostenere l'esame orale è necessario aver superato lo scritto con un voto maggiore o uguale a 18. Un voto sufficiente all'esame scritto consente di sostenere un solo esame orale. Se il voto finale è insufficiente o viene rifiutato, si perde lo scritto. È valido l'ultimo scritto consegnato, i risultati precedenti vengono cancellati.

Gli studenti possono decidere di non effettuare l'esame orale, nel qual caso viene verbalizzato il minimo tra il voto dello scritto e 25. 

Gli studenti possono ripetere l'esame nel successivo appello della stessa sessione.

Programma dettagliato del corso:

Lezione 1 (23 febbraio 2023):

Organizzazione del corso. Introduzione ai numeri complessi. Rappresentazione cartesiana e polare.

Lezione 2 (24 febbraio 2023):

Lezione 3 (27 febbraio 2023):

Lezione 4 (28 febbraio 2023):

Lezione 5 (1 marzo 2023):

Funzioni polidrome e tagli sul piano complesso. Esempi di funzioni polidrome e loro studio sul piano complesso. Analisi dei punti di diramazione e delle differenti determinazioni di funzioni polidrome.

Lezione 6 (2 marzo 2023):

Lezione 7 (3 marzo 2023):

Esercizi su funzioni polidrome. Studio del punto all'infinito come punto di diramazione.

Lezione 8 (6 marzo 2023):

Esercizi su funzioni polidrome. La sfera di Riemann e il punto all’infinito. Proiezione stereografica.

Lezione 9 (7 marzo 2023):

Curve nel piano complesso. Integrali di funzioni complesse lungo una curva. Teorema di Cauchy.

Lezione 10 (8 marzo 2023):

Forme differenziali chiuse e esatte. Integrali lungo curve chiuse. Esercizi.

Lezione 11 (9 marzo 2023):

Primitiva di una funzione olomorfa.

Lezione 12 (10 marzo 2023):

Rappresentazione integrale di Cauchy di una funzione olomorfa e delle sue derivate.

Lezione 13 (13 marzo 2023):

Teorema di Morera. Teorema del valor medio. Teorema del massimo modulo. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra.

Lezione 14 (14 marzo 2023):

Funzioni armoniche. Esercizi.

Lezione 15 (15 marzo 2023):

Richiami sulla convergenza di serie di funzioni. Serie di potenze. Esercizi su raggi di convergenza.

Lezione 16 (16 marzo 2023):

Esercizi sulla serie geometrica e sue derivate.

Lezione 17 (17 marzo 2023):

Espansione in serie di Taylor di funzioni olomorfe. Esercizi. Continuazione analitica. Metodo di Weierstrass.

Lezione 18 (20 marzo 2023):

Continuazione analitica. Metodo di Weierstrass. Rappresentazione integrale. Continuazione analitica di una funzione polidroma.

Lezione 19 (21 marzo 2023):

Esercizi su serie di Taylor. Funzione Gamma di Eulero. Polilogaritmi. Continuazione analitica di Borel.

Lezione 20 (22 marzo 2023):

Esercizi sulla continuazione analitica di Borel. Cenni al metodo di Laplace e derivazione della formula di Stirling. Serie di Laurent.

Lezione 21 (23 marzo 2023):

Esercizi su serie di Laurent.

Lezione 22 (24 marzo 2023):

Esercizi su serie di Laurent. Caratterizzazione delle singolarità isolate in termini del corrispondente sviluppo di Laurent.

Lezione 23 (27 marzo 2023):

Integrale di una funzione analitica intorno a una singolarità isolata e residuo. Residuo per un polo di ordine n. Teorema dei residui. Applicazioni del teorema dei residui al calcolo di integrali di funzioni analitiche con singolarità isolate lungo curve chiuse nel piano complesso.

Lezione 24 (28 marzo 2023):

Esercizi su integrali lungo curve chiuse nel piano complesso. Residuo all'infinito.

Lezione 25 (29 marzo 2023):

Residuo all'infinito. Applicazioni del teorema dei residui al calcolo di integrali reali di funzioni trigonometriche.

Lezione 26 (30 marzo 2023):

Integrali lungo curve chiuse nel piano complesso di funzioni polidrome.

Lezione 27 (31 marzo 2023):

Esercizi su integrali di funzioni polidrome.

Lezione 28 (3 aprile 2023):

Calcolo di integrali sull'asse reale utilizzando il teorema dei residui. Lemmi di Jordan. Esercizi.

Lezione 29 (4 aprile 2023):

Applicazioni dei lemmi di Jordan al calcolo di integrali sull'asse reale.

Lezione 30 (5 aprile 2023):

Esercizi.

Lezione 31 (12 aprile 2023):

Esercizi su integrali di funzioni polidrome.

Lezione 32 (13 aprile 2023):

Parte principale di Cauchy. Applicazioni.

Lezione 33 (14 aprile 2023):

Espansioni asintotiche. Metodo della fase stazionaria. Metodo del punto di sella. Applicazioni e esercizi.

Appello del 20 giugno 2023:

Appello del 4 luglio 2023:

Appello dell'8 settembre 2023:

Appello del 16 novembre 2023:

Appello del 15 gennaio 2024:

Appello del 7 febbraio 2024: