Valutazione parametro della Poissoniana e dell'intensità di un processo di Poisson

Consideriamo l'esperienza simulata del contatore e concentriamoci sulla prima misura da 300 s, la quale ha dato 55 conteggi (vedi paragrafo 1.1 e tabelle 1.1) Vediamo come sia possibile, da questa sola informazione, ricavarsi non solo l'intensità del processo di Poisson (questo è comunque possibile, come l'intuizione suggerisce, dal numero di conteggi diviso il tempo di misura) ma anche l'incertezza su tale valore. Abbiamo già visto come questo può essere fatto in maniera rigorosa usando lo schema di inferenza bayesiana (vedi paragrafo 9.8). Possiamo risultare analoghi facendo il seguente ragionamento:

• dato il tipo di fenomeno fisico, lo possiamo modellizzare con un fenomeno di Poisson di intensità $r$; fissando il tempo di misura, i possibili conteggi che saranno osservati sono descritti da una distribuzione poissoniana di parametro $\lambda$ ignota:
  $$X\sim {\cal P}_{\lambda}\,;$$

• essendo il valore misurato $X=55$ grande, ci aspettiamo che, molto probabilmente anche $\lambda$ sia grande, ove ``grande'' indica che l'approssimazione della poissoniana con una normale è abbastanza buona, ovvero:
  $$X\sim {\cal N}(\lambda,\sqrt{\lambda})\,;$$

• assumendo uno stato di conoscenza a priori su $\lambda$ abbastanza vago possiamo utilizzare l'inversisone di probabilità del tipo ``cane-cacciatore'':
  $$\lambda \sim {\cal N}(x,\sqrt{x})\,,$$
  ottenendo quindi
  

  $$\lambda(300\, ) = 55\pm 7 \,$$

  $$r = 0.183 \pm 0.025 \, \,.$$

  
  

Confrontando questo risultato con quello delle figure 9.2 e 9.3, vediamo come questo risultato sia compatibile con quelli già ottenuti e di qualità confrontabile a quello ottenuto dal complesso delle misure da 3 s, ma inferiore a quello ottenuto da tutte le misure da 300 s.

Vediamo ora come ottenere un risultato che tenga conto di tutte le misure effettuate ad un certo tempo fissato.

• Le 100 misure da 300 s equivalgono ad una sola misura da 30000, ovvero:
  

  $$\lambda(30000\, ) = 5348 \pm 73$$

  $$r = 0.1783 \pm 0.0024 \, \,,$$

  
  
  da cui
  

  $$\lambda(300\, ) = 53.48 \pm 0.73\,.$$

  
  

• Possiamo generalizzare questo caso al caso generale, pensando alle $n$ misure di durate $T$, scrivendo:
  

  $$X \sim {\cal P}_{\lambda(T)}$$

  $$\sum_{i=1}^n X_i \sim {\cal P}_{n\,\lambda(T)} = {\cal P}_{\lambda(n\,T)}$$

  $$\rightarrow \sim {\cal N}(\lambda(n\,T), \sqrt{\lambda(n\,T)})$$

  $$\sum_{i=1}^n > {\cal O}(10);\$$

  $$\lambda(n\,T) \sim {\cal N}(\sum_{i=1}^n x_i, \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i})$$

  $$\lambda(T) \sim {\cal N}(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}, \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i}}{n})$$

  $$\sim {\cal N}(\overline{x}, \frac{\sqrt{\overline{x}}}{\sqrt{n}})$$

  $$r \sim {\cal N}(\frac{\overline{x}}{T}, \frac{\sqrt{\overline{x}}}{\sqrt{n}\cdot T})\,.$$

  
  

Si noti inoltre come, quando si hanno molte misure, non è richiesta l'ipotesi di normalità di ciascuno dei valori osservabili, essendo sufficiente che essa sia soddisfatta dalla variabile ``somma delle osservazioni''. Pertanto queste formule sono applicabile anche all'insieme delle misure da 3 s. La tabella 10.1 fornisce i risultati che si ottengono per $\lambda$ e per $r$ da ciascun gruppo.

Tabella: Risultati si $\lambda$ e su $r$ ottenuti dai dati simulati del contatore.

$T$	$\lambda$	$r$
(s)	(conteggi)	(conteggi/s)
3	$0.60\pm 0.08$	$0.200 \pm 0.026$
6	$1.02\pm 0.10$	$0.170 \pm 0.016$
12	$2.19\pm 0.15$	$0.183 \pm 0.012$
30	$5.16\pm 0.23$	$0.172 \pm 0.008$
100	$17.81\pm 0.42$	$0.1781\pm 0.0042$
300	$53.48\pm 0.73$	$0.1783\pm 0.0024$

Si noti come $\lambda$ aumenti con il tempo di misura, mentre $r$ è circa indipendente entro le incertezze. Inoltre, come era da aspettarsi, la qualità delle misure, quantificata dalla precisione, aumenta con il tempo di misura. Un'altra osservazione importante è che l'incertezza sia stata ricavata soltanto dalle medie, senza tener conto delle deviazioni standard calcolate in ciascun gruppetto.