Prime valutazioni di $k$ e di $g$

Cerchiamo di valutare $k$ e $g$ dalla differenza di allungamento dovuta all'aggiunta del sesto dischetto. Prendendo i dati della prima serie di misure, dalla (2.2) si ottiene^2.2

$$k = \frac{4\pi^2 M}{T^2} = \frac{39.5 \times 536\, \mbox{g}} {0.678^2\,\mbox{s}^2}$$

$$= 4.60\cdot 10^{4}\, / ^2$$

$$= 46.0\, \,.$$ (2.3)

Poiché l'allungamento della molla causato dall'aggiunta del sesto dischetto ( $\Delta M = 78.9\,$g) è stato di $\Delta l = 17\,$mm = 0.017 m si ottiene

$$g = \frac{k \Delta l}{\Delta M} = \frac{46.0\times 0.017 \,\mbox{Nm}^{-1}\mbox{m}}{0.0789\,\mbox{kg}}$$

$$= 9.9 \, ^2 \,.$$ (2.4)

È da notare come il valore di 9.9 m/s$^2$ potrebbe indurre a credere che $g$ sia stata determinata con un incertezza di qualche parte per cento. In realtà ai fini dell'esatta valutazione di $g$ è determinante il contributo di $\Delta l$. Infatti non ci sarebbe da meravigliarsi se esso venisse in altre misure 0.016 o 0.018cm, o anche se deviasse un po' di più da 0.017cm. Quindi $\Delta l$ è determinato a circa 1 parte su 17, ovvero al 6%. Questo si rifletterebbe su $g$ con una incertezza dell'ordine di 0.6 m/s$^2$. Pertanto l'ottimo accordo con il ``valore vero'' di 9.8 m/s$^2$ è da ritenersi soltanto un caso fortunato.

Possiamo ripetere lo stesso esercizio per le tre serie e, considerando anche le variazioni dal sesto al settimo e dal settimo all'ottavo dischetto, riportare i risultati in tabella 2.6.

Tabella: Valori della costante elastica della molla ($k$) e dell'accelerazione di gravità ottenuti da un'analisi parziale della tabella 2.5.

		Prima serie		Seconda serie		Terza serie
$n_\circ\rightarrow n_1$	$\Delta l$	$k$	$g$	$k$	$g$	$k$	$g$
	(mm)	(N/m)	(m/s$^2$)	(N/m)	(m/s$^2$)	(N/m)	(m/s$^2$)
$5\rightarrow 6$	17	46.0	9.9	45.5	9.8	43.9	9.5
$6\rightarrow 7$	19	45.8	11.0	45.2	10.9	45.2	10.9
$7\rightarrow 8$	18	45.1	10.3	44.9	10.3	44.3	10.1

I risultati mostrano valori di $g$ confrontabili con il valore atteso di 9.80 m/s$^2$. La differenza fra ciascuno dei valori misurati e il valore ``vero'' di $g$ ci dà un'idea dell'errore commesso nella misura. Esso varia fra $-0.3$ e $+1.2\,$m/s$^2$. Abbiamo ottenuto variazioni comprese fra $-3$ e $+12\,\%$ rispetto al valore vero, ovvero errori percentuali (in valore assoluto) dell'ordine del $\approx 5$-10%.

Purtroppo non è usuale nella ricerca sapere già il risultato della misura, in quanto non è interessante perdere tempo a misurare una grandezza nota con esattezza, se non per ragioni didattiche o per per calibrare l'apparato sperimentale e il metodo di misura. In genere prima della misura il risultato di interesse è sempre ignoto o incerto (si crede che sia più in un certo intervallo che altrove). È quindi importante essere in grado di stimare l'ordine di grandezza dell'errore (ignoto!) che può essere stato commesso senza conoscere il valore vero della grandezza da misurare. Questo è uno degli scopi di questo corso e l'argomento verrà trattato ampiamente nel seguito.

Dai dati di tabella 2.5 e dai risultati ottenuti in tabella 2.6 sorgono spontanee alcune domande

1. I risultati sono stati ottenuti dall'ipotesi di linearità dell'allungamento dalla massa applicata e dalla formula 2.2. La relativa stabilità dei valori ottenuti e l'accordo qualitativo con il valore vero di $g$ indicano che tali ipotesi sono ragionevoli. È possibile stabilire dei criteri per verificare tali ipotesi? È possibile analizzare soltanto i dati che meglio soddisfano tali ipotesi al fine di diminuire gli errori?
2. Come si possono combinare insieme tutte le informazioni di una serie di misure per ottenere un valore di $k$ e di $g$? Si sarebbe tentati di mediare in qualche modo i valori di $g$ ottenuti. Bisogna però prestare attenzione al fatto che, con il metodo utilizzato sopra, ogni misura di allungamento influenza due valori di $g$. Per esempio, se al posto di $l = 66\,$mm per $n=6$ si fosse misurato $67\,$mm (non improbabile) i due valori di $g$ corrispondenti della tabella 2.6 sarebbero diventati rispettivamente $10.5$ e $10.4$ m/s$^2$.

Come al solito, prima di poter dare una risposta a tale domande occorrerà aver acquisito delle conoscenze teoriche di probabilità e di statistica.