Formula delle alternative e teorema di Bayes

La versione generale del teorema di Bayes discende dalle espressioni della probabilità congiunta in funzione delle condizionate e delle marginali. Infatti dalla (9.6) segue

$$f(x\,\vert\,y) = \frac{f(y\,\vert\,x)\,f(x)} {f(y)}\,,$$ (9.10)

analoga della (5.3). Ricordando che $f(y)$ è la marginale rispetto a $Y$ di $f(x,y)$ si ottiene l'analoga della formula delle alternative (mostriamo il solo caso continuo, quello discreto è assolutamente simile)

$$f(y) = \int f(x,y)\, x = \int f(y\,\vert\,x)f(x)\, x\, ,$$ (9.11)

che, sostituita nella (9.10), dà luogo alla formula più consueta del teorema di Bayes per variabili continue, del quale faremo largo uso nell'inferenza su valori di grandezze fisiche:

$$f(x\,\vert\,y) = \frac{f(y\,\vert\,x)\,f(x)} {\int f(y\,\vert\,x)f(x)\,\mbox{d}x}\,.$$ (9.12)