Distribuzioni condizionate

In analogia alla probabilità condizionata esistono le distribuzioni di probabilità condizionate, nel senso che $f(x)$ può essere subordinata alla conoscenza che $Y$ sia uguale a $y$, ovvero $f(x\,\vert\,Y=y)$. Essa è indicata con

$$f(x\,\vert\,y)$$

ed è funzione soltanto di $x$, mentre $y$ svolge, per così dire, il ruolo di parametro. Quindi esistono tante diverse $f(x\,\vert\,y)$ quanti sono i possibili valori di $Y$, infiniti nel caso che $Y$ sia una variabile continua.

Come detto nel paragrafo 7.16, l'estensione al caso discreto è immediata. Vediamo come ci si comporta per il caso continuo. Ricordiamo la formula che lega probabilità condizionata alla congiunta (vedi paragrafo 4.6):

$$P(A\,\vert\,B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\,\,\,\,\,\,\, (\,P(B)\neq 0\, )$$ (9.3)

Nel caso di variabile casuale continua possiamo scrivere in perfetta analogia:

$$P(x\le X\le x+ x\,\vert\, Y = y) = \frac{P[(x\le X \le x + \mbox{d}x) \cap (y\le Y\le y+\mbox{d}y)]} {P(y\le Y\le y+\mbox{d}y)}\, ,$$ (9.4)

con $P(y\le Y\le y+$d$y)\ne 0$. Passando alle funzioni densità di probabilità si ha

$$f(x\,\vert\,y)\, x = \frac{f(x,y)\,\mbox{d}x\mbox{d}y} {f(y)\,\mbox{d}y}\,,$$

da cui

$$f(x\,\vert\,y) = \frac{f(x,y)}{f(y)}$$ (9.5)

con $f(y)\ne 0$. Si ricorda che, come visto per la (9.3), neanche la (9.5) definisce la distribuzione condizionata. In particolare, $f(x\,\vert\,y)$ può essere valutata senza che sia nota (o abbia importanza) la funzione congiunta $f(x,y)$ (vedi discussioni ai paragrafi 4.4 4.6). È comunque chiaro che, qualora invece la $f(x,y)$ sia assegnata, essa contiene l'informazione più completa sullo stato di incertezza di $Y$ e di $Y$, in quanto da essa è possibile ricavarsi le marginali e le condizionate, ad esempio:

$$f(x\,\vert\,y) = \frac{f(x,y)}{\int f(x,y)dx}\,.$$

Si noti come la formula (9.5) non dipenda dal fatto che le $f()$ siano probabilità o densità di probabilità, ovvero la formula è indipendentemente dal tipo di variabili. Inoltre, per simmetria, si ha

$$f(x,y) = f(x\,\vert\,y)\cdot f(y) = f(y\,\vert\,x)\cdot f(x)\,.$$ (9.6)

Così pure, in modo analogo alla (4.22), si ha, nel caso di molte variabili:

$$f(x,y,z,\ldots) = f(y)\cdot f(x\,\vert\,y)\cdot f(z\,\vert\,x,y)\ldots$$