Fisica II per Scienze Chimiche (Prof. D'Agostini)

Fisica II per Scienze Chimiche

Prof. G. D'Agostini

A.A. 21-22

Dettagli delle lezioni

1. Lun 27/09	2. Mar 28/09	3. Gio 30/09	4. Ven 1/10
5. Lun 4/10	6. Mar 5/10	7. Gio 7/10	8. Ven 8/10
9. Lun 11/10	10. Mar 12/10	11. Gio 14/10	12. Ven 15/10
13. Lun 18/10	14. Mar 19/10	15. Gio 21/10	16. Ven 22/10
--------------------	17. Mar 26/10	18. Gio 28/10	19. Ven 29/10
--------------------	20. Mar 2/11	21. Gio 4/11	22. Ven 5/11
23. Lun 8/11	--------------------	24. Gio 11/11	25. Ven 12/11
26. Lun 15/11	27. Mar 16/11	28. Gio 18/11	29. Ven 19/11
30. Lun 22/11	31. Mar 23/11	32. Gio 25/11	33. Ven 26/11
34. Lun 29/11	35. Mar 30/11	36. Gio 2/12	37. Ven 3/12
38. Lun 6/12	39. Mar 7/12	40. Gio 9/12	41. Ven 10/12
42. Lun 13/12	43. Mar 14/12	44. Gio 16/12	45. Ven 17/12
--------------------	46. Mar 21/12	--------------------	--------------------
--------------------	--------------------	--------------------	47. Ven 7/01
48. Lun 10/01	49. Mar 11/01	50. Gio 13/01	51. Ven 14/01

Galleria di immagini e link associati

Lezione 1, Lun 27 settembre, 1h

Introduzione al corso

Informazioni (mooolto) generali sul corso
- Per favore registrarsi su elearning
Relazione della Fisica con le altre scienze, in particolare con la Chimica.
Test di autovalutazione (assolutamente anonimo!)
- Sarà riproposto all prossima lezione, dando però meno tempo per le risposte:
  → si prega quindi di rivedersi le domande, discuterne eventualmente con gli altri, e appuntarsi su carta le risposte.

Altri link

Da "La Fisica di Feynman" — The Feynman Lectures on Physics:
- The Relation of Physics to Other Sciences
  (In particolare paragrafo 3.2 → Chemestry)
  Versione stampabile (pdf)

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Lezione 2, Mar 28 settembre, 2h

Introduzione al corso

Ripetizione del Test di autovalutazione
- Risposte di ieri (pdf)
  → Percentuale risposte esatte (su 51), nell'ordine: 76.5, 66.7, 66.7, 35.3, 35.3, 60.8, 64.7, 49.
- Risposte di oggi (pdf)
  → Percentuale risposte esatte (su 49), nell'ordine: 95.9, 77.6, 73.5, 44.8, 46.9, 83.7, 81.7, 57.1.
Discussione di alcuni punti del test:
- Potenze, radici e logaritmi: PromemoriaFSN, par. 2.2.1.
- Equazioni di primo grado: idem, par. 2.2.2.
- Grandezze che dipendono da potenze di altre grandezze: idem, par. 2.2.3.
- Variazioni percentuali (quesito sul PIL): idem, par. 2.2.4 (anche se in quei promemoria c'era -15% seguito da +16%).
- Andamenti esponenziali (quesiti 6 e 8): → importanti in tutte le scienze → da capire bene.
  → Il tacchino esponenziale: idem, par. 21.2, p. 29.
  [a cui seguono degli importanti chiarimenti sul formalismo, specialmente per quanto riguarda le derivate (par. 21.3).
  Si veda anche par. 5.2 pp. 13-14, lasciato a lettura personale]
- Andamenti sinusoidali (quesito 7): altresì importanti e da capire bene.
  - Sulle consequenze della relazione fra derivata seconda rispetto al tempo e funzione (problema tipico in Fisica e in altre scienze) si veda PromemoriaFSN, par. 8.1, p. 19;
  - a lezione abbiamo visto l'applicazione al caso di una molla ideale:
    → per dettagli su come arrivare alla relazione fra x(t) e la sua derivata seconda si veda PromemoriaFisica1, p. 23 (seguita dal par. 8.5, pp. 34-35 su come arrivare alla soluzione dettagliata, accennata a lezione).
- Ancora sulle funzioni proposte nei quesiti nr. 6 e nr. 7:
  - a*x è caratterizzata da un tasso di crescita costante;
  - a*x^2 ha un tasso di crescita proporzionale a x;
  - A*exp(b*x) ha un tasso di crescita proporzionale alla funzione stessa.
- E, infine, a proposito dei quesiti nr. 6 e 7, si ricorda che
  - le 'variabili' che compaiono nelle equazioni fisiche e chimiche hanno tipicamente delle 'dimensioni', in quanto le grandezze fisiche sono caratterizzate da un valore numerico e da una unità di misura;
  - gli argomenti delle funzioni seno, coseno, logaritmo, esponenziale, 'etc.' devono essere adimensionali.
  (E, a proposito delle unità di misura quando si eseguono i conti, chi avesse qualche dubbio veda PromemoriaFSN, par. 4.8, facendo attenzione, in sede d'esame, di non incorrere nel doppio errore descritto all'inizio di p. 11!)
Altre questioni di matematica in cui ci siamo imbattuti:
- Tassi di crescita medi e 'istantanei':
  → pendenze medie, pendenze locali (interpretazione) e derivate:
  → PromemoriaFSN, par. 5.2
- Uso di Wolfram Alpha per derivate, 'antiderivate' e integrali (si noti come vengono interpretati i comandi):
  - derivative sin (a x)
  - second derivative sin (a x)
  - derivative sin (a x t) wrt t
  - derivative sin (a x t) wrt a
  - D[ A cos(omega t + phi), t]
  - D[ A cos(omega t + phi), {t,2}]
  - second derivative A cos(omega t + phi) wrt t
  - antiderivative x^2
  - integral x^2
  - integrate x^2 from 2 to 3
  - integrate g dt from t1 to t2
  - Integrate[g t, {t, t1, t2}] (sintassi esatta secondo Mathematica, ma il risultato è lo stesso)
  Note:
  - 'wrt' sta per 'with respect to';
  - il simbolo '∂', al posto di 'd', usato da WolframAlpha, è, detto alla buona, per specificare che la funzione dipende solo (in questo caso) dalla variabile 't', mentre le altre sono semplicemente delle costanti. [La questione fra 'derivata parziale' (`∂') e 'derivata totale' ('d') è un po' più sottile, ma durante il corso useremo spesso 'd' come si realtà fosse '∂', anche se per alcune applicazioni useremo esplicitamente le derivate parziali.]
  - Wolfram Alpha esiste, al costo di qualche caffè, anche come app: qui ad esempio per Android.
Secondo test di autovalutazione (assolutamente anonimo!)
Per misteriosi problemi tecnici non è stato possibile rispondere durante la lezione (ma dopo qualcuno è riuscito a inviare le risposte):
→ sarà riproposto alla prossima lezione;
→ pensarci bene e prepararsi le risposte, per poterlo compilare rapidamente;
→ la domanda nr. 7 è stata riformulata per renderla più chiara (ma a lezione era stata illustrata bene!).
Nota
- A proposito del quesito nr 4, eccone un altro analogo (entrano in gioco le stessi leggi fisiche):
  - In una piscina c'è un canottino con dentro di esso un grosso oggetto di elevata densità e non solubile in acqua ('incudine'). Successivamente l'oggetto viene rimosso dal canottino e lentamente viene fatto affondare (si assuma che in durante questa operazione non ci siano fuoriuscite di acqua). Dire se, rispetto al livello iniziale, quando l'oggetto è sul fondo il livello dell'acqua è aumentato, diminuito o è rimasto invariato.
  Si suggerisce inoltre di provare a fare questi esperimenti a casa (per 'piscina', 'canottino' e 'incudine' si usino recipienti trasparenti e un oggetto metallico opportuni).
Basi della meccanica (richiami e precisazioni): PromemoriaFSN, par. 3.1.

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Lezione 3, Gio 30 settembre, 2h

Ancora sui concetti di base della Fisica

Secondo test di autovalutazione (assolutamente anonimo!)
- Risposte che alcuni studenti sono riusciti a inviare ieri
  → Percentuale risposte esatte (su 7), nell'ordine: 71.4, 42.9, 71.4, 57.1, 71.4, 0.
- Risposte inviate oggi in aula (all'inizio della lezione)
  → Percentuale risposte esatte (su 35), nell'ordine: 74.3, 60.0, 54.3, 40.0, 54.3, 2.9.
- Risposte inviate oggi in serata (entro le 22:05)
  → Percentuale risposte esatte (su 18), nell'ordine: 94.4, 66.7, 72.2, 33.3, 50.0, 88.9.
  Nota: il Terzo Principio è stato spiegato dopo che erano state date le risposte in aula, da cui la grande differenza delle risposte al quesito nr. 6 date in serata rispetto alle precedenti.
Dal Secondo Principio della meccanica (come enunciato da Newton) a 'a=F/m'.
Terzo Principio ('azione e reazione'), che non va confuso con la coppia di forze applicate su un oggetto aventi risultante nulla.
→ Vedi risposte al quesito nr 6 del secondo test di autovalutazione.
Primo Principio, visto come caso particolare del secondo (è 'primo' per questioni storiche).
Impulso della forza e variazione della quantità di moto.
Lavoro compiuto da 'una' forza (in generale: dalla somma delle forze che agiscono su un corpo):
- caso 1D (lungo x) per forza costante o dipendente dalla posizione;
- estenzione al caso 3D: si sommano i tre lavori (il lavoro è uno scalare!):
  → lavoro infinitesimo prodotto vettoriale del vettore forza per il vettore spostamento infinitesimo;
- somma di infiniti elementi infinitesimi: integrale.
→ PromemoriaFisica1, par. 9.9, pp. 45-46.
Lavoro e variazione di energia cinetica;
Forze conservative:
- Connessione fra
  1. variazione di energia potenziale e lavoro compiuto da forze conservative;
  2. variazione di energia potenziale e variazione di energia cinetica nel caso di forze conservative.
→ PromemoriaFisica1, par. 10.7, pp. 52-53.
Esperimento del Mulinello di Joule e conservazione dell'energia (meccanica + termica):
- risorse in rete (anche esperimenti effettuati da scolaresche);
- conservazione dell'energia: Mayer vs Joule.
Derivazione della forza a partire dalla funzione di energia potenziale (per ora solo caso 1D):
- si capisce bene il motivo per cui l'energia potenziale è definita a meno di una costante arbitraria (cosa comunque già chiara da come viene introdotta -- vedi sopra).

Lavagna telematica (anche se fa abbastanza schifo...)

Problemi suggeriti

Da un compito scritto di Fisica per Scienze Naturali (scritto_20settembre2021.pdf):
- Nr. 3;
- Nr. 4;
- Nr. 5 (att: il problema richiede di valutare i vettori e non i loro moduli);
- Nr. 6.

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Lezione 4, Ven 1 ottobre, 2h

Forza gravitazionale e forza elettrica

Forza fra 'cariche' puntiformi
→ Par. 1.1 di forze_gravitazionali_e_elettriche.pdf; → Par. 3.2, 4.2-4.6 di PromemoriaFSN
Semplici casi gravitazionali unidimensionali
→ Lavagna telematica
Uso di notazione vettoriale compatta, che tiene automaticamente conto di direzione e verso di tutte le forze
→ Eqs. (1.10)-(1.11) in forze_gravitazionali_e_elettriche.pdf;
→ estensione automatica ai casi 2D (nel piano) e 3D (nello spazio).
Punto materiale in un ipotetico pozzo per il centro della Terra
(assumendo, per cominciare, che la forza gravitazionele fra un punto materiale sulla superficie di una sfera omogenea sia uguale a quella che si avrebbe se l'intera massa della sfera fosse concentrata nel suo centro):
- un punto materiale dentro un guscio sferico concentrico e di densità uniforme non risente di nessuna forza;
- se esso si trova alla distanza r dal centro della Terra conta solo la sfera di raggio r;
- ma siccome la massa M(r) è proporzionale a r^3 e la forza di gravità va come 1/ r^2, la forza (e quindi l'accelerazione di gravità) cresce proporzionalmente a r;
- in particolare, siccome a(r) ∝ - r e a(R_T) = -g, ne segue banalmente che a(r) = -(g/R_T) r :
  → oscillatore armonico con ω^2 = g/R_T.
→ Dettagli in PromemoriaFSN, par. 5.4, pp. 16-17; par. 7.2-7.3 pp. 18-19; par. 8.1-8.2, pp. 19-20.

Problemi

Problema alla fine del par. 8.2 (p. 20) di PromemoriaFSN.
Dato il punto materiale di massa m=1 (unità arbitraria^(*)) posta in x=2 (unità arbitraria^(*)), calcolare le forze su di esso e la forza totale, dovute a
- M₁ = 1 posta in x=-1 e
- M₂ = 1 posta in x=1.
Si ripeta il problema con la stessa m nello stesso punto e una sola M = 2 posta in x=0.
(Prima di fare i conti: cosa ci si aspetta?)
Si ripeta il problema nr 2, mantenendo m nello stesso punto, ma con
- M₁ = 1 posta in x=-2 e
- M₂ = 2 posta in x=3.
Si ripeta il problema nr 2, mantenendo m nello stesso punto, ma con
- M₁ = 4 posta in x=0 e
- M₂ = 1 posta in x=3.
(Si provi a pensare a cosa ci si aspetta prima di fare i conti!)
Passando ora a un problema nel piano x-y, e date le tre masse
- m = 1 posta in (3,0);
- M₁ = 2 posta in (-1,1);
- M₂ = 3 posta in (1,-2),
→ calcolare le forze su m e la forza totale (vettori!);
→ fare una rappresentazione grafica del problema e della soluzione.
(Nota: usando unità arbitrarie, le lunghezze devono essere consistenti fra di loro e le forze fra di loro -- provare a pensarci, chiariremo a lezione).

[^(*) Con questo espedente, ponendo G = 1, riusciamo a concentrarci sulla sostanza, senza perder tempo con i dettagli numerici: ovviamente le forze verranno anch'esse in unità arbitrarie, ma quello che conta è il loro confronto, sia in modulo che in direzione e verso (quando i problemi sono su un un piano o nello spazio).]

Link vari

Linguaggio R: : installazione e primi passi
- Sito da cui scaricare il programma
- Primissimi comandi: R-primissimi_passi.pdf
- Primi plot (eseguire i seguenti comandi, uno alla volta, e provare con altri):
  - curve(x^2, -1, 2)
  - curve(x^2, -2, 1, col='red')
  - curve(4 - x^2, col='green', add=TRUE)
  - curve(3 - x^2, col='orange', lwd=2, add=TRUE)
  - curve(sin(x), 0, 2*pi, col='magenta', lwd='2')
  - abline(h=0)
  - curve(cos(x), col='cyan', lwd='2', add=TRUE)
  - abline(v=pi/2, lty=2)
  - abline(v=pi, lty=2)
  - abline(v=3/2*pi, lty=2)
Vedi anche Galleria di immagini

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Lezione 5, Lun 4 ottobre, 1h

Punto della situazione e approfondimenti

Problemi vecchi e problemi nuovi (con varianti e precisazioni)
- Oscillatore armonico dell'oggetto nel pozzo per il centro della Terra.
- Ipotetica orbita radente, con richiami al moto circolare uniforme.
- Dall'orbita radente a satelliti in orbita circolare (inclusa stazionne orbitale ISS).
- Accelerazione di gravità della ISS, ottenuta mediante approssimazioni.
  → Sulle approssimazioni notevoli vedi PromemoriaFSN, par. 10.2, p. 23.
  [E, en passent, rilettura di g = 9.8 m/s^2 come "9.8 (m/s)/s", esprimibile anche come "35 (km/h)/s -> farsi i conti.]
Linguaggio R:
- comandi dati in aula, tanto per (ri-)cominciare:
  2+2
  2^2
  2^5
  log(10)
  log10(10)
  log(10, 10)
  log(32,2)
  curve( x^2, -2, 2)
  curve( x^2, -2, 2, col='red', lwd=3)
  curve( 3 - x^2, col='magenta', lwd=3, add=TRUE)
- Uso di script ('file di comandi'), prendendo come esempio il file curve_test_ingresso_1.R:
  - salvare il file in una apposita directory (→ tasto-destro → salva);
  - istruire R su qual'è la directory di lavoro;
  - eseguire lo script con il comando source(),
    in questo caso source("curve_test_ingresso_1.R");
  - provare a modificare, salvare (eventualmente con altro nome) e rieseguire lo script.

Problemi

Problema legato al nr. 1 della lezione scorsa:
Calcolare il periodo di un oggetto in una ipotetica orbita radente alla superficie terrestre.
Periodo di un satellite in orbita circolare intorno alla Terra in funzione della distanza R dal centro della Terra.
→ Si ricavi inoltre la Terza Legge di Keplero (anche se limitatamente a orbite circolari).
Continuazione del problema precedente: calcolare l'energia cinetica di tale satellite.
Due cariche puntiformi dello stesso segno (siano Q₁ e Q₂) sono poste sull'asse x, una in x₁ e l'altra in x₂.
1. Si calcoli l'espressione della forza totale su una terza carica q in funzione della posizione lungo x di quest'ultima;
2. si calcoli in quale punto tale forza si annulla.
(Per il risultato numerico si usino Q₁=2 e Q₂ = 4, x₁₌₀ e x₂=2, in unità arbitrarie -- vedi lezione precedente.)
Note:
- prima di fare i conti si cerchi di ragionare cosa ci si aspetta;
- si consideri in particolare in cui le due cariche Q₁ e Q₂ sono uguali, sia nel ragionamento generale che nel calcolo;
- in particolare, si presti attenzione e si ragioni su una 'possibile' soluzione spuria.

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Lezione 6, Mar 5 ottobre, 2h

Energia potenziale dovuta a forza che vanno come 1/R^2. Forze e campi

Orbita radente e pozzo per il centro della Terra:
- Vedi osservazioni al par. 10.4.1 di PromemoriaFSN.
Problema nr. 2 della lezione scorsa:
- Per dettagli su come arrivare alla Terza Legge di Keplero vedi PromemoriaFSN par. 11.4 pp. 25-25 (e par. 11.3 per richiami/precisazioni sul moto circolare uniforme).
Problema nr. 6 della Lezione 4:
- Soluzione dettagliate (con grafica) mediante script R: tre_cariche_piano_grafica.R (screenshot)
  → esercitarsi a variare posizioni e cariche (tenendo conto che, per quanto riguarda la grafica, lo script non prevede tutte le situazioni).
Alcuni integrali interessanti (dobbiamo padroneggiare bene la tecnica):
- area del cerchio sommando infinite corone circolari infinitesime;
- volume della sfera sommando infinite fette infinitesime.
(E come byproduct otteniamo da quest'ultimo risultato l'area della sfera ricordando che una sfera può esser vista come la somma di infiniti gusci concentrici.)
Integrale di Newton (solo accennato - assolutamente facoltativo)
- integrale_newton.pdf
- Notebook di Mathematica per fare l'integrale più difficile (solo per chi ha Mathematica: scaricare il file ed eseguirlo);
  Versione html (solo per vedere conti e risultato)
Energia potenziale di un corpo soggetto a forza gravitazionale 'terrestre', per R >> R_T:
- PromemoriaFSN par. 28.2.1, pp. 49-50 (con successivo 28.2.2 su estensione al caso elettrico)
- PromemoriaFisica1, par. 12.4, pp. 67-68.
  [Vedi anche: par. 14.1 per la relazione fra energia potenziale e forze; par. 14.3 per la tabella riassuntiva e per l'espansione di E_p) in orossimità della superficie terrestre.]
Energia totale di un satellite in orbita circolare (ci riconnettiamo al problema 3 della scorsa lezione).
Forze e campi, energia potenziale ("differenze di")
- forze_gravitazionali_e_elettriche.pdf, par. 1.1.1, pp 3-5.
Lavagna telematica

Problemi
1. Una barretta sottile di lunghezza l e massa M (e quindi si densità lineare λ=M/l, da cui λ=dM/dx) è posta orizzontalmente sull'asse delle ascisse. Si calcoli la forza esercitata su una massa m posta nella posizione x₀, alla distanza d dal centro della barretta (ovviamente d>l/2).
  Nel fare i conti, porre la barretta fra x=-l e x=0, da cui è sufficiente considerare x₀>0.
  Fare i limiti per
  - l → 0 (la barretta si riduce a un punto);
  - l → - ∞.
2. Variante con barretta lungo l'asse y, da -l/2 a +l/2 (e massa puntiforme sempre in x₀).
  Di nuovo:
  - soluzione generale;
  - limite per l → 0;
  - limite per l → ∞.
3. Come banale variante dei problemi precedenti, trasformare i risultati campo gravitazionale nel punto x₀ dovuto alla barretta nelle due posizioni e per i vari limiti.
4. Continuazione del problema nr 3 della lezione precedente, alla luce di quanto visto oggi: calcolare l'energia totale di un satellite in orbita circolare alla distanza R (e pensare al significato del segno risultante -- particolarmente importante per chimici.)
Link vari
- Campi scalari e campi vettoriali (concetti generali)
  → vedi anche, su Wiki, campo scalare e campo vettoriale
- Come facevano a calcolare volume e superficie della sfera senza il calcolo integrale e differenziale? (Lode e gratitudine a chi li ha inventati!)
  - Il Metodo Illustrato di Archimede: Usando la legge della leva per calcolare aree, volumi e centri di gravità;
  - Il volume della sfera e la scodella di Galilei.
  (Ovviamente queste referenze sono assolutamente facoltative!)

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Lezione 7, Gio 7 ottobre, 2h

Campi e differenze di potenziale

Rassegna della Galleria di immagini con precisazioni e approfondimenti,
in particolare su
- Terzo Principio della meccanica;
- cannone di Newton;
- campo gravitazionale dal centro della Terra fino a R → ∞;
- curve di energia potenziale e loro interpretazione in termini di campi e forze.
Esercizi di riscaldamento
- Energia totale di un satellite in orbita circolare.
- Punto di equilibrio fra due cariche dello stesso segno (→ reinterpretato in termini di campo).
- Barretta e massa disposti lungo lo stesso asse.
  → sulla traccia di questo fare quello della barretta disposta trasversalmente (nr. 2 scorsa lezione).
  (In caso di difficoltà con l'integrale ci si faccia dare una mano da Wolfram Alpha.)
Energia potenziale e 'potenziale'
Campo elettrico e potenziale elettrico
Peculiarità dell'elettricità:
- Generatori di tensione
- Cavi di connessione (ideali): superfici equipotenziali
→ forze_gravitazionali_e_elettriche.pdf
- par. 1.2 fino al par. 1.2.1 incluso, pp. 5-8;
- par. 1.4, limitatamente ai par. 1.4.1 e 1.4.2, pp. 10-14.
→ PromemoriaFSN, par. 29.1-29.3, pp. 51-53 (quasi una ripetizione di quanto si trova nella nota precedente).

Problemi (oltre a quelli arretrati)

Calcolare, ignorando la resistenza dell'aria(!!) l'energia per mandare un oggetto di massa 1 kg dalla superficie terrestre a distanza 'infinita', dove arriva a velocità nulla.
Ripetere il problema, ma questa volta nel caso di oggetto in ipotetica orbita radente intorno alla Terra
(alla base c'è il primo 'esercizio di riscaldamento' della lezione odierna).
Ripetere in dettaglio gli esempi numerici dei paragrafi di forze_gravitazionali_e_elettriche.pdf visti oggi.
Problema nr. 2 in par. 1.7, p. 22, di forze_gravitazionali_e_elettriche.pdf .
Problema nr. 3 in par. 1.7, p. 22, di forze_gravitazionali_e_elettriche.pdf.

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Lezione 8, Ven 8 ottobre, 2h

Da potenziali e forze a circuiti 'gravitazionali' ed elettrici

Estensione a 3D della relazione fra energia potenziale e forza (nel caso di gravità lontano dalla Terra):
→ PromemoriaFisica1, par. 15.6, p. 80.
Precisazione sul potenziale dovuto a tante 'cariche' (in generale):
→ PromemoriaFisica1, par. 17.3, p. 88.
Ancora sulle 'peculiarità dell'elettricità':
- voltmetri e 'multimetro';
- scorrimento di cariche nei circuiti elettrici chiusi: corrente elettrica:
  → legge di Ohm (cenno).
Un 'circuito gravitazionale'.
Bilancio energetico in circuito elettrico stazionario.
→ forze_gravitazionali_e_elettriche.pdf (completo).
[Errata: nelle Eq. (1.40) e (1.41) dovrebbero comparire dei 'dL' invece che degli 'L'.]
Problemi in corso
- Energia totale di satellite in orbita circolare e energia per 'ionizzare' il sistema Terra-satelliti di tale satellite.

Problemi (oltre a quelli arretrati)
Con riferimento a p. 22 di forze_gravitazionali_e_elettriche.pdf:

Nr. 2.
Nr. 5.
Nr. 6.
Nr. 7.
Nr. 8.

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Lezione 9, Lun 11 ottobre, 1h

Semplici circuiti in corrente continua
e, en passant, prima introduzione a linee di campo, superfici equipotenziali e flusso del campo

Linee di campo, superfici equipotenziali e flusso del campo nel caso gravitazionae in prossimità della superficie terrestre:
- per ogni punto dello spazio il campo è diretto verso il basso (di modulo g);
- costruzione di una linea di campo a partire da un punto:
  - a lezione visto il caso di campo costante, diretto verso il basso;
  - per il caso generale si veda Galleria di immagini e link ivi riportati.
- linee di campo sono verticali, parallele e dirette verso il basso;
- le superfici equipotenziali solo piani orizzontali (il campo dipende dalla sola altezza);
- data una superficie orizzontale di area A, il flusso del campo attraverso di essa vale in modulo g*A, ed è positivo o negativo a seconda che il verso del campo sia concorde o discorde con quello preso come riferimento sulla superficie (cosa che sarà pià chiara quando prenderemo in considerazione superfici chiuse, ad es. quella di una sfera o di un parallelepipede).
Complicazioni che seguiranno (prossime lezioni):
- il verso del campo può essere non semplicemente concorde o discorde con quello di riferimento, ma ci potrà essere un certo angolo fra di loro:
  → in tal caso si considererà la proiezione del campo lungo il versore di riferimento;
  → prodotto scalare;
- nella superficie considerata il capo può differire da punto a punto:
  → si considererà il flusso (infinitesimo) in ciascuna superficie infinitesima dA e
  → il flusso totale sarà dato dalla somma degli infiniti flussi infinitesimi;
- la superficie attraverso la quale si intende valutare il potrà avere una forma qualsiasi (anche se in pratica ci si limiterà a parallelepipedi, cilindri o sfere).
Semplici circuiti in corrente continua:
- legge di Ohm;
- effetto Joule (in sostanza già visto la scorsa lezione), con le diverse formule pratiche che valutarsi la potenza dissipata);
- resistenze in serie e partitori di tensione;
- resistenze in parallelo e partitori di corrente
→ circuiti_in_corrente_continua.pdf:
→ Tutto fino a pagina 38 (anche se su alcune cose ci ritorneremo).

Lavagna telematica

Problemi

Sul problema della carica q fra due cariche Q₁ e Q₂ (vedi anche Galleria di immagini):
nel caso particolare (per semplificare i conti) in cui q = Q₁ = Q₂:
ricavarsi, facendo uso di opportune approssimazioni, l'espressione della forza per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio, ovvero, ridefinendo "x = x_eq + ε", ricavarsi F(ε).
→ A quale tipo di moto è soggetta la carica q?
→ (Stiamo ovviamente assumendo che Q₁ e Q₂ siano in qualche modo fisse e non possano muoversi.)
Con riferimento alla batteria mostrata nella Galleria di immagini, calcolare:
1. la potenza massima che tale batteria può fornire;
2. la carica che tale batteria può far circolare in un circuito chiuso prima che si scarichi completamente;
3. l'energia che essa può fornire;
4. il valore di 'Wh' (e 'kWh') di tale batteria
  (un parametro tipico che si dà per le bici elettriche è il 'numero di Wh').
Risolvere il circuito mostrato nella Fig. 2.12 di circuiti_in_corrente_continua.pdf, ovvero calcolare R_p, R_t, I₀, I₁ e I₂.

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Lezione 10, Mar 12 ottobre, 2h

Ancora campi, ancora circuiti in c.c. e basi empiriche dei fenomeni elettrici

Ancora su energia e potenza:
- unità di misura e conversioni fra quelle più comuni;
- quanto scalda una persona?
→ PromemoriaFisica1, par. 5.5, p. 79.
Rassegna della Galleria di immagini, con precisazioni e commenti.
In particolare:
- lavoro compiuto da forza peso e... centrali idroelettriche;
- relazione fra ipotetica orbita radente e ipotetico moto del sasso nel pozzo per il centro della Terra (e sul 'doppio significato' di ω);
- curva di energia di potenziale nell'oscillatore armonico;
- curve di energia potenziale e punti di equilibrio: stabile e instabile (e indifferente);
- ancora dalle curve di energia potenziale alle forze
  (e quindi dalle curve di potenziale ai campi).
Campi e linee di campo (e superfici equipotenziali)
- Ancora su costruzione delle linee di campo (→ figura in Galleria).
- Dalle linee di campo alla direzione e verso del campo.
Flusso di campo uscente da semplici superfici chiuse:
- 'scatola' orizzontale, nel caso di camo gravitazionale costante;
- superficie di sfera al cui centro è posta una carica o una massa.
  (E se la massa o carica non fosse al centro?)
Problemi in corso
- Questioni su qualche problema suggerito?
- Batteria.
- Barretta orizzontale.
- Barretta verticale: → campo dovuto a filo infinito.
- Circuito elementare.
Circuiti in c.c.
- Chiarimenti, in particolare sui fraintendimenti prodotti dalla scrittura alla buona della legge di Ohm e dell'effetto Joule, con 'V' al posto di 'ΔV'.
- Leggi di Kirchhoff
→ circuiti_in_corrente_continua.pdf: par. 2.6, 2.7, 2.8 (e ripassare i precedenti).
Isolanti e conduttori
- Introduzione fenomenologica.
- Dimostrazione in aula con elettroscopio.
→ MNV^(*): par. 1.1-1.2

(*) Nota: MNV sta per Mazzoldi-Nigro-Voci.
Altri paragrafi che al momento si raccomanda di leggere sul testo come riepilogo e per approfondimenti, facendo attenzione alla notazione e prestando attenzione solo agli esempi che saranno indicati esplicitamente sono:
- 1.3 La legge di Coulomb;
- 1.4 Campo elettrostatico;
- 1.6 Linee di forza del campo elettrostatico;
- Riepilogo a p. 22.
(Per quanto riguarda il Capitolo 2, saranno date indicazioni nel seguito.)

Problemi (oltre a quelli arretrati)

Risolvere in dettaglio l'esempio guida del par. 2.9 di circuiti_in_corrente_continua.pdf, facendosi una ragione dei risultati numerici.
(Nota: risolvendo meccanicamente tanti esercizi si impara poco; meglio farne pochi ma cercare di capirli bene!)
Date le seguenti coppie di vettori, valutare il modulo di ciascuno, il loro prodotto scalare e l'angolo fra essi compreso (in radianti e in gradi):
1. a = (1, 0, -1), b = (-1, 1, -1);
2. a = (1, -1, 2), b = (-2, 2, -4);
3. a = (1, -1, 2), b = (-2, 3, -4);
4. a = (1, 1, 1), b = (0, 0, 1);
5. a = (1, 1, 1), b = (2, 0, 1).

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Lezione 11, Gio 14 ottobre, 2h

Ancora circuiti
Problemi in corso che richiedono calcolo di integrali.
Introduzione alla fotometria

Chiarimenti sull'applicazione delle leggi dei circuiti sull'esempio guida (circuiti_in_corrente_continua.pdf, par. 2.9).
→ come impostare le equazioni (è il problema più difficile!)
Soluzione problemi delle barrette (→ completare quello della barretta verticale)
→ Dall'anello al disco (→ all'intero piano):
→ solo illustrato: fare come esercizio sulla falsa riga di altri problemi con integrali.
Introduzione alla fotometria (... dovendo parlare di angolo solido -- e comunque era in programma) basata su un webinar per LAB2GO (con audio pessimo...)
- Slides (fino a pag. 20, da vedere in modalità presentazione)
  → provare a installare app per 'misurare i lux'.
Problemi
1. Risolvere il semplice circuito della Fig. 2.12 di circuiti_in_corrente_continua.pdf,
  - usando le leggi di Kirchhoff;
  - valutando anche
    - il potenziale nel punto B, assumendo V(C) = 0;
    - i potenziali di A e C, assumendo V(B) = 0.
2. Problema sulla forza esercitata da un disco 'sottile' di raggio R e densità di massa σ su un punto materiale di massa m distante x₀ da esso e posto sulla retta ortogonale ad esso e passante per il suo centro.
  In particolare, fare i limiti per R ≪ x₀ e R → ∞.
3. Esercizi nr. 2, 3 e 4 a pag. 6 delle slides di fotometria
  (sono 3 domande in cascata di un unico problema).
4. Continuazione del problema 4 delle slides: supponendo per il carbone un potere calorifico di 35 MJ/kg (vedi Wiki), calcolare quanto carbone dovrebbe essere bruciato al secondo per avere la stessa potenza irradiata dal Sole. Ovviamente si può fare il confronto anche con altri combustibile: → vedi ad esempio tabelle su IngDemurtas.it (ma gli ordini di grandezza sono sostanzialmente gli stessi)]

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Lezione 12, Ven 15 ottobre, 2h

Fotometria. Angoli, angoli solidi e flussi

Angoli e osservazioni su alcune funzioni trigonometriche
- Problemi sui prodotti scalari della Lezione 10.
- Problema del pannello solare (nr. 5 di p. 6 delle slides).
- Richiami sul prodotto scalare
  → PromemoriaFisica1, par. 10.4, p. 50-51.
  → dalle due espressioni del prodotto scalare si può ricavare l'angolo fra due generici vettori nello spazio;
  → problemi della lezione scorsa.
- Definizione dell'angolo piano importanti approssimazioni per piccoli angoli.
  Comandi R usati in aula (ad es. per 5 gradi):
  (th = 5 * pi/180); sin(th); tan(th); cos(th)
- Dimensioni angolari.
- Angolo con cui è vista un 'piccola' barretta (l ≪ R) messa non ortogonale alla direzione di vista.
Ancora fotometria (e questioni connesse)
- Intensità luminosa in una certa direzione: candela.
- Angolo solido 'entro un cono' di semiapertura θ.
  - Limite per piccoli angoli (calotta sferica → base del cono).
  - Importante caso di coni obliqui (sempre di piccola semiapertura)
    → analogia con barretta non ortogonale alla direzione di vista.
- Caso speciale di emissione isotropa (e in particolare da 1 cd su sfera di raggio di 1 m).
Slides: intro_fotometria.pdf, fino a pag. 45.

Problemi (oltre a quelli sul prodotto scalare e quello sul pannello solare — vedi sopra)

Calcolare l'angolo solido sotteso da ciascuna calotta polare della Terra 'vista' dal centro della Terra.
Usando il risultato del problema precedente, si calcoli da frazione di superficie terrestre di ciascuna calotta.
Una lampada emette luce in modo isotropo ('a 4 pi greco'). Si misura alla distanza di 2 metri da essa un illuminamento di 50 lx.
Assumendo trascurabili diffusioni o effetti di altre sorgenti di luce, si calcolino
1. il flusso di luce emesso dalla lampada (lm);
2. la sua intensità (cd).
Si ripeta lo stesso problema, ma assumendo che si tratti di un faretto che emette luce in un cono di semiapertura 45 gradi.
Si immagini un dischetto di 2.3 cm di diametro (circa una moneta da 1 Euro) e di spessore trascurabile.
Esso è visto da un punto che dista da esso un metro ed è posto sulla retta orizzontale, ortogonale ad esso e passante per il suo centro (insomma, si immagini una moneta posta verticalmente e che rivolge una faccia all'osservatore)
1. Si calcoli il diametro angolare del dischetto dal punto di osservazione, esprimendo il risultato sia in radianti che in gradi.
  → dire inoltre se tale diametro angolare è maggiore o minore rispetto a quello con cui vediamo il Sole.
2. Si calcoli l'angolo solido sotteso dal dischetto rispetto al punto di osservazione.
Si ripeta il problema precedente nel caso in cui il dischetto è ruotato, rispetto all'asse verticale passante per il centro, tale la direzione di osservazione faccia un angolo di 30, 45 e 60 gradi rispetto alla normale sua faccia.
[Nota: questi due problemi (nr. 5 e 6), per altro tecnicamente semplici, sono fortemente raccomandati]
Si risolvano i problemi proposti nella Galleria sulla distanza, da chi ha scattato la foto, del Cupolone, della "persona che regge il sole" e della Minerva.
Un oggetto circolare è osservato con un piccolo diametro angolare δ (radianti!):
- si ricavi l'espressione per calcolare l'angolo solido con il quale esso viene visto;
- si applichi la formula ottenuta al caso di Sole e Luna, prendendo il valore approssimato del diametro angolare di mezzo grado (da trasformare in radianti!);
- si calcoli quindi la frazione di angolo solido, rispetto a '4 π', con il quale noi vediamo sole e Luna.
  (Questa frazione ci dà un'idea dell'ordine di grandezza di quanti corpi celesti aventi lo stesso diametro angolare di Sole e Luna occorrerebbero per coprire in modo uniforme l'intera volta celeste.)

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Lezione 13, Lun 18 ottobre, 1h

Punto della situazione — problemi in corso

Problema disco (da cui, per R→∞, ⇒ piano infinito).
Sequenza logica: dr → dA → dM → dF → dF_x → F_x
I tre 'integrali' che si incontrano (il vero problema è arrivare a impostare gli integrali!):
- caso della barretta orizzontale (di diametro trascurabile);
- caso della barretta verticale (di diametro trascurabile);
- caso del disco (di spessore trascurabile)
  ⇒ limite per R→∞
Telemetria pratica (Cupolone etc.)
Fare i problemi!

Problemi
→ Lezione 12

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Lezione 14, Mar 19 ottobre, 2h

Dettagli sui problemi in corso, con un interessante risultato

Problemi pratici di fotometria, dimensioni angolari e angolo solido.
Relazione fra diametro angolare e angolo solido
Problemi in corso su distribuzioni continue di massa (e carica)
[in particolare limiti per l → ∞ e R → ∞]
Rilettura dei risultati:
- campo (gravitazionale o 'elettrostostatico ipotetico') prodotto da filo rettilineo infinito avente densità di massa (o carica) uniforme;
- campo (gravitazionale o 'elettrostostatico ipotetico') prodotto da piano avente densità di massa (o carica) uniforme nelle due porzioni di spazio che esso separa.
Flusso di campo uscente da superfici chiuse nel caso di forze che vanno come 1/r²
- semplice caso di massa^(*) (o carica) posta al centro di una sfera;
  [^(*) Nel senso di 'punto materiale']
- massa (o carica) posta in un punto qualsiasi entro una sfera;
- massa (o carica) esterna a una sfera;
- estensione a una superficie qualsiasi;
- estensione a tante masse (o cariche) dentro la superficie.
- Applicazioni, ottenuto con l'ausilio di argomenti di simmetria:
  - campo dovuto a sfera 'omogenea' (→ il famoso complicato 'integrale di Newton');
⇒ Teorema di Gauss
- Masse: Φ = - 4π G ∑_i M_i
- Cariche: (-G) ⟶ k ⟶ 1/(4πε₀); M_i ⟶ Q_i
- Φ: flusso uscente da superficie chiusa;
- solo M_i o Q_i dentro la superficie;
- distribuzioni continue: sommatoria ⟶ integrale (somma di infiniti elementi infinitesimi)

Problemi

Calcolare a che distanza bisogna porre una moneta da un euro affinché abbia (approssimativamente) lo stesso diametro angolare di Sole e Luna.
Calcolare il diametro angolare del Sole visto da Giove (fare opportune proporzioni).
Continuare il problema del campo prodotto da un disco di densità di massa uniforme.
⇒ In particolare, farne il limite per R → ∞.
Chi non l'avesse ancora fatto, risolva il problema della 'barretta verticale', in particolare nel limite per l→∞.
(Come si capirà, questo problema si ricollega a quello che segue).
In analogia a quanto fatto a lezione per calcolare mediante il teorema di Gauss il campo gravitazionale di una sfera omogenea^(*), si calcoli il campo dovuto a un filo rettilineo avente densità lineare di massa λ e infinitamente lungo.
Suggerimenti:
- per simmetria il campo in un certo punto può essere solo ortogonale al filo e dipendere dalla distanza da esso;
- si consideri, come area rispetto alla quale valutare il flusso, quella laterale di un cilindro;
- se il filo è 'molto lungo' (molto più lungo del diametro del cilindro attraverso il quale si confidera il flusso uscente), il flusso del campo uscente dalle basi del cilindro può essere trascurato.
[^(*) In realtà non è strettamente necessario che essa sia omogenea, purché la densità sia la stessa per 'punti' che hanno la stessa distanza dal suo centro.]

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Lezione 15, Gio 21 ottobre, 2h

Ancora campi e teorema di Gauss

Check su conoscenze riguardanti gradiente, rotore e loro uso:
→ Rivedere, ripassare!
Precisazioni sul problema del campo dovuto al disco lungo il suo asse e dimostrazione alternativa.
Risultati dettagliati per barrette e disco, con estensione a filo rettilineo infinito e a piano.
Linee di campo: vedi animazione (→ricordare superfici equipotenziali)
Teorema di Gauss e suo uso per casi notevoli.
Campi, differenze di potenziale e potenziali per
- punto;
- filo rettilineo infinito;
- piano infinito
Doppio strato (2 piani 'infiniti' paralleli):
Grafica mooolto approssimativa di due piani massivi (o carichi negativamente) con stessa densità superficiale di massa o carica:
- doppio_strato.png

Problemi

Completare l'applicazione del teorema di Gauss al piano infinito e confrontare con la soluzione ottenuta come limite del disco per R → ∞.
Risolvere graficamente il problema del doppio strato nel caso di piano carico negativamente a destra e piano carico positivamente a sinistra.
Immaginando, come fatto a lezione, che i due piani siano ortogonali all'asse x e posti uno in x=-d/2 e l'altro in x=+d/2 (essendo quindi d la distanza fra i due piani),
- disegnare come varia il campo in funzione di x (ad esempio da -d a +d), scrivendo anche quanto vale il campo nelle diverse regioni;
- disegnare anche come varia il potenziale nello stesso intervallo.
⇒ ripetere l'esercizio per i casi in cui
- i due piani siano entrambi carichi negativamente (recuperando così anche il caso gravitazionale);
- i due piani siano entrambi carichi positivamente;
- il piano di sinistra sia carico negativamente e quello di sinistra positivamente.
Calcolare l'espressione della differenza di potenziale dovuto a un filo rettilineo infinito uniformemente carico fra un punto distante r₁ dall'asse del filo e un altro distante r₂.

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Lezione 16, Ven 22 ottobre, 2h

Introduzione al dipolo elettrico.
Relazione fra potenziale e campo in 3D (→ gradiente)

Due problemi di riscaldamento (con richiami sulle approssimazioni)
1. Due cariche opposte sono posizionate sull'asse x: -q in x=-d e +q in x=+d. Si trovi il campo prodotto su un punto dell'asse x posto a distanza molto maggiore di d.
2. Due cariche opposte sono posizionate sull'asse y: -q in y=-d e +q in y=+d. Si trovi il campo prodotto su un punto dell'asse x posto a distanza dall'origine molto maggiore di d.
Relazione fra campo e potenziale
- Avevemo già parlato (Lezione 8) della relazione fra forza ed energia potenziale in 3D;
- naturalmente ne esiste una assolutamente simile fra campo e potenziale;
- tecnicamente si fa uso del concetto di gradiente, che dovrebbe essere già conosciuto:
  MNV par. 7.4, con particolare attenzione alla notazione (ad esempio per i versori lungo gli assi) e al nome del simbolo tradizionalmente noto come nabla
  Per operatori in diversi sistemi di coordinate si veda tabella riassuntiva su Wikipedia.
Superfici equipotenziali: ulteriori dettagli su MNV par. 2.5.
Dipolo elettrico
- Campo prodotto da esso.
  - Figura in Galleria ottenuta con il programma interattivo già visto, ponendo una carica +1 'in alto' e una carica -1 in basso.
  - Il campo lungo l'asse del dipolo è ottenuto risolvendo il primo problema 'di riscaldamento'.
  - Il campo in un piano ortogonale al suo asse e passante per il suo centro è ottenuto risolvendo il secondo problema 'di riscaldamento'.
  Nota: a parte di dettagli tecnici (non banali) di calcolare il campo in ciascun punto è importante
  1. capire bene i due casi notevoli ottenuti i due problemi di cui sopra, notando in particolare:
    - il campo dipende solo dal prodotto 'q*a' (→ momento di dipolo);
    - il modulo del campo decresce in entrambi i casi (e in generale!) come il cubo della distanza;
    - a parità di distanza, il modulo del campo lungo l'asse è doppio, rispetto a quello sul piano trasversale (e il segno è opposto).
  2. capire, mediante opportune costruzioni grafiche il verso del canpo in altre direzioni notevoli rispetto all'asse del dipolo: 45°, -45°, 135° e -135 gradi.
  Script R per calcolare e graficare i campi: → Galleria
- Forza e momento della forza a cui è soggetto se è posto in un campo elettrico uniforme.
  (E cominciare a pensare a cosa succede se il campo è variabile, ovvero se le due cariche non sono soggette esattamente allo stesso campo.)

Problemi

Continuare il secondo problema di riscaldamento.

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Lezione 17, Mar 26 ottobre, 2h

Riepiloghi e chiarimenti
Gradiente in coordinate polari. Dipolo elettrico

Punto della situazione, con chiarimenti e precisazioni.
Gradiente in coordinate polari:
→ in pratica quello in coordinate cilindriche senza il termine dipendente da z.
Dipolo elettrico:
- fenomenologia, anche usando grafica e reinterprendo opportunemente problemi già svolti;
- derivazione dettagliata a partire dal potenziale seguendo la traccia del MNV par. 2.7;
- forza e coppia su un dipolo, MNV par. 2.8. (incluso effetto dovuto a campo dipendente dalla posizione, per il solo caso in cui la variazione sia lungo l'asse del dipolo. )

Problemi

Rivedere i dettagli della dimostrazione del campo generato da un dipolo, inclusi i 'due problemi di riscaldamento' della Lezione 16
Ricavarsi la coppia su un dipolo in un campo elettrico costante seguendo la traccia del MNV par. 2.8.
Sul problema 2.4 del MNV a p. 52, chiamando P₁ il vertice in basso a sinistra, P₂ il vertice in alto a destra e C il centro del rettangolo:
1. calcolare l'espressione del potenziale elettrostatico dovuto alla carica q₁ nei punti P₁, P₂ e C;
2. calcolare l'espressione del potenziale elettrostatico dovuto alla carica q₂ nei punti P₁, P₂ e C;
3. calcolare la variazione di energia potenziale della carica q₃ quando essa va
  - da P₁ a C;
  - da C a P₂;
  - da P₂ a P₁,
  e dire in quali di queste variazioni di posizione la carica acquista energia cinetica.
Problema 2.21 del MNV a p. 54.
Problema 2.25 del MNV a p. 54.

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Lezione 18, Gio 28 ottobre, 2h

Continuazione scorsa lezione.
Introduzione ai conduttori. Condensatori.

Precisazioni sul gradiente in coordinate polari:
— segno di θ;
— ragione del fattore '1/r': componenti del gradiente devono avere le stesse dimensioni, come le hanno gli spostamenti infinitesimi fra loro ortogonali.
Coppia su un dipolo (anche solo campo elettrico uniforme):
— direzione stabile se allineati
Analogie meccaniche:
- vantaggi e svantaggi della trazione anteriore rispetto a quella posteriore nei veicoli (e perché i freni più 'importanti' sono posti davanti);
- carrello della spesa con ruota difettosa
  (e oscillazione del carrello nella condizione più stabile).
Forza su dipolo (campo elettrico variabile))
- in campo prodotto da carica puntiforme
  (nel solo caso di dipolo già allineato nella posizione stabile).
- in campo prodotto da un altro dipolo posto sullo stesso asse
  (nel solo caso di dipoli allineati nella posizione stabile): → dettagli lasciati come esercizio.
Introduzione ai conduttori:
- conduttori in equilibrio;
- campo elettrostatico indotto.
Dal doppio strano al condensatore piano:
→ capacità elettrica e ... altre capacità.
Condensatore collegato a un generatore di tensione.

Problemi

Rivedere/risolvere il problema del tacchino esponenzale (→ Lezione 2: ??... c'entra, c'entra!...)
Rivedere capacità termica e processi di termalizzazione.
Confrontare la forza che una carica puntiforme esercita du un dipolo con quella che il dipolo esercita sulla stessa carica, nel caso in cui la carica si trovi lungo l'asse del dipolo.
Seguito del problema precedente (accennato a lezione): si trovi l'espressione della forza fra due dipoli nel caso essi siano sullo stesso asse.

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Lezione 19, Ven 29 ottobre, 2h

Circuiti con condensatori (e sistemi analoghi)

Ancora precisazioni sul gradiente, con illustrazione programma di grafica interattivo.
Dal condensatore piano al concetto generale di condensatore.

Condensatore in un circuito alimentato da generatore/i di tensione:

corrente di carica e scarica;
situazione stazionaria (anche con più generatori ed eventuali resistenza);
caso di due generatori;
condensatori in parallelo e in serie;

equazioni che descrivono l'andamento temporale di carica e di scarica:
→ PromemoriaFisica1, par. 19.2-19.3, pp. 100-101.

Resistenze ↔ condensatori: regole di combinazione

	resistenze	condensatori
regola	ΔV = I × R	ΔV = Q × 1/C
serie	stessa I (si sommano le ΔV_i) → si sommano R_i	stessa Q (si sommano le ΔV_i) → si sommano 1/C_i
parallelo	stessa ΔV (si sommano le I_i) → si sommano 1/R_i	stessa ΔV (si sommano le Q_i) → si sommano C_i

caduta di un grave in fluido che causa una forza di attrito proporzionale alla velocità:
→ PromemoriaFisica1, par. 19.5, pp. 103.
Processo di termalizzazione:
- temperatura di equilibrio:
  → PromemoriaFisica1, par. 14.7, pp. 74-75;
- equazione che descrivono l'andamento temporale della termalizzazione quando un corpo è posto in un 'ambiente' avente 'capacità termica infinita':
  → PromemoriaFisica1, par. 16.2, pp. 82.; par. 19.6, p. 103.
Richiamo del 'tacchino esponenziale':
→ PromemoriaFSN, par. 2.2.1.
Soluzione delle equazioni differenziali di interesse:
→ PromemoriaFisica1, par. 19.7, pp. 104-105.

Problemi

Risolvere (chi non lo avesse già fatto) il problema dell'ipotetico tacchino esponenziale.
Un condensatore si carica alla tensione del generatore f con una costante di tempo τ. Calcolare dopo quanto tempo (in unità di τ), a partire dal processo di carica, il condensatore si è caricato
1. al 50% di f;
2. al 90% di f;
3. al 99% di f;
4. al 99.9% di f.
Ricavarsi la regola di combinazione di condensatori in serie.
Un condensatore inizialmente a 10 V è fatto scaricare su una resistenza di 1 MΩ. Sapendo che la differenza di potenziale ai suoi capi impiega 35 ms per portarsi a 5 V, calcolare la capacità del condensatore.
Dalla legge di carica e scarica del condensatore e ricordando che la corrente è pari a dQ/dt, ricavarsi l'espressione della corrente che circola nel circuito in funzione del tempo:
1. durante il processo di carica;
2. durante il processo di scarica.
Continuazione del problema precedente: data l'espressione di I(t) durante il processo, ricavarsi:
1. l'espressione della potenza istantanea P(t) erogata per effetto Joule dalla resistenza durante la carica;
2. la medesima espressione durante la scarica;
3. l'energia totale dissipata per effetto Joule durante la carica e la scarica.
(Naturalmente stiamo parlando di un condensatore di capacità C che si carica alla tensione del generatore f attraverso un resistore di resistenza R.)
Continuazione del problema precedente: ipotizzando che l'energia dissipata per effetto Joule durante la scarica sia tutta quella che era immagazzinata nel condensatore, si ricavi l'espressione di tale energia in funzione di C e di V_c.
Un bicchiere di acqua di 200 g, inizialmente a 80 °C, raggiunge la temperatura ambiente di 20 °C. Sapendo che dopo 20 minuti la temperatura era scesa a 42 °C, determinare il τ dell’andamento esponenziale di raffreddamento. Determinare anche η.
Un corpo si raffredda dalla temperatura iniziale T₀ alla temperatura ambiente T_A con una costante di tempo τ = 1h.
Si calcoli dopo quanto tempo, a partire dall'inizio del processo di raffreddamento, il corpo ha raggiunto la temperatura intermedia fra T₀ e T_A.
Nella figura del campo scalare mostrato nella Galleria c'è anche l'espressione matematica del campo stesso.
→ calcolare i gradiente di tale campo sia in coordinate cartesiane che scalari.
(Importante!) continuazione del problema nr 8: calcolare il tempo (usando nei conti abbastanza cifre) affinché l'acqua raggiunga
1. 50 °C;
2. 35 °C;
3. 27.5 °C;
4. 23.75 °C.
Cosa abbiamo imparato?

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Lezione 20, Mar 2 novembre, 2h

Crescite e decrescite esponenziali

Problemi in sospeso
Parentesi sui termometri (vedi anche Galleria):
- principio fisico;
- accuratezza e precisione;
- costante di tempo
  (nota: la capacità termica, per i termometri 'a termalizzazione', oltre che giocare un ruolo nella costante di tempo può influezzare anche la temperatura di termalizzazione!)
In particolare: misurare la temperatura attraverso la legge del corpo nero
→ Slides fotometria, pp. 47-53
Sistemi per i quali la variazione (positiva o negativa) di una certa grandezza in un 'piccolo' intervallo di tempo è proporziornale al valore della grandezza stessa:
- decadimenti radioattivi (→ radiodatazione al ¹⁴C)
  → PromemoriaFisica1, par. 19.8, pp. 105-106;
- colonie di batteri e diffusione di batteri/virus;
- decremento rispetto a un valore asintotico: Δ(x-x_L) ∝ - (x-x_L) · Δt:
  → condensatore; termalizzazione; attrito di tipo '-βv': →
  → →→ soluzione più semplice senza far uso (esplicito) di integrali:
  → → → → cambiamento di variabile: ξ = x -x_F: PromemoriaFisica1, par. 16.2.2, p. 83.
- Tempo di dimezzamento (e di raddoppio) e sua/loro relazione con τ.
  (Proprieta di non memoria degli andamenti esponenziali).
Lavagna telematica

Problemi della lezioni scorsa!

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Lezione 21, Gio 4 novembre, 2h

Ancora andamenti esponenziali — carte logaritmiche
Bilancio energetico nella carica e scarica del condensatore

tacchino esponenziale
→ PromemoriaFSN, par. 21.2 p. 29; par. 22.1, pp. 33-34.
Script R: tacchino.R (Screenshot)
[E, a proposito di tacchini ipotetici, eccone, assolutamente fuori programma, un altro ben più famoso]
Uso di carte logaritmiche: semilog e doppiolog.
E ricordarsi che spesso quello che decresce in modo esponenziale è il modulo della differenza rispetto a un valore asintotico:
→ vedi termalizzazione nella Galleria
Una figura 'di ripasso': → Galleria
con primissima introduzione a questioni di ottica geometrica:
→ trasmissione; assorbimento; diffusione; riflessione; rifrazione.
Ancora carica e scarica del condensatore in un circuito:
→ per dettagli (anche sulle analogie) vedi dispensa_condensatore.pdf
Considerazioni energetiche energetiche nel processo di carica del condensatore
→ PromemoriaFisica1, par. 19.4, pp. 101-102.
Lavoro per per caricare un condensatore (dimostrazione alternativa in fondo a p. 102).
Che fine fa l'energia del condensatore?
→ energia dissipata per effetto Joule durante la scarica: → problema nr 6 lezione precedente
Energia del condensatore

Problemi

Un condensatore da 1 nF è carico a 10 V. Un secondo condensatore, di capacità 2 nF è carico a 20 V.
I due condensatori sono successivamente collegati in parallelo (armatura positiva del primo con armatura positiva del secondo; armatura negativa del primo con armatura negativa del secondo) mediante conduttori ideali privi di resistenza.
Si calcoli:
1. l'energia individuale iniziale dei due condensatori (e quindi l'energia totale)
2. la loro energa finale, e quindi l'energia totale finale.
Si immagini un ipotetico circuito costituito soltanto da un generatore di f.e.m. f e un condensatore di capacità C (come nel caso precedente i fili di connessione sono considerati ideali, ovvero privi di resistenza).
Si trovino le espressione de
1. l'energia erogata dal generatore;
2. l'energia immagazzinata dal condensatore.
Si confronti quanto ottenuto in questo problema con quanto si era ottenuto nel precedente: cos'è che non va nei due problemi?
Si immagini un circuito nel quale, oltre al solito generatore, resistore e condensatori messi in serie, viene aggiunta la resistenza R₂ in parallelo al condensatore (indicheremo quindi con R₁ l'altra resistenza).
Ragionando su cosa succede all'equilibrio,
1. si derivi l'espressione della tensione asintotica ai capi del condensatore;
2. si valuti l'espressione della corrente erogata dal generatore quando il condensatore si è caricato completamente.
Continuazione del problema precedente (da considerarsi opzionale, in quanto un po' più tecnica, ma non per questo impossibile):
Si valuti l'espressione della tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo.

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Lezione 22, Ven 5 novembre, 2h

Questioni energetiche legate al condensatore

Ancora corpo nero e temperatura colore:
→ Slides fotometria, pp. 51-53.
dispensa_condensatore.pdf: rapida carrellata di alcune figure importanti (il grosso è già stato fatto a lezione).
Lavoro per caricare un condensatore (dimostrazione alternativa della formula dell'energia di un condensatore):
→ in fondo a p. 102 di PromemoriaFisica1;
→ analogia con il lavoro per allungare una molla: dL = (kx)dx
→ ragione del fattore 1/2 in E_C = V_C·Q/2:
→ se si portasse la carica Q da 0 a V_C finale, il lavoro sarebbe V_C·Q,
→ ma V_C varia linearmente a mano a mano che si aggiunge la carica: → fattore 1/2
→ → lo stesso lavoro se si facesse fare a Q un salto di potenziale fisso intermedio V_C/2.
Densità di energia all'interno di un condensatore: dove sta l'energia del condensatore?
Problemi in corso:
- Nr. 6 Lezione 19.
- Nr. 8 Lezione 19.
- Nr. 1-4 Lezione di ieri
Nota: il condensatore si può scaricare su una resistenza diversa da quella con cui si è caricato, e, in particolare, molto minore:
→ alta potenza istantanea: vedi Galleria.

Lavagna telematica

Problemi

Un recipiente cilindrico avente area di base di 1 m² è riempito di acqua fino a un livello di 1 m. Un altro, avente area di base di 2 m² è riempito di acqua fino a un livello di 2 m.
Successivamente essi sono messi in comunicazione attraverso un tubo che li connette sul fondo.
Trovare il livello dell'acqua all'equilibrio (ottenuto dalla ben nota legge dei vasi comunicanti).
Continuazione del problema precedente: calcolare
1. l'energia potenziale dell'acqua contenuta inizialmente in ciascun recipiente (usando come zero il fondo, allo stesso livello, di entrambi i recipienti);
2. l'energia potenziale totale dell'acqua quando si è raggiunto l'equilibrio idrostatico;
3. la variazione di energia dallo stato iniziale allo stato finale;
4. la variazione percentuale di energia;
5. confrontare tale variazione percentuale con l'analoga risultante dal problema nr. 1 della Lezione di ieri.
Alla luce di quest'ultimo problema e del nr. 1 della Lezione di ieri
→ si ricavino e si confrontino le formule che danno la variazione di energia nei due problemi.
Ancora sul problema nr. 6 della Lezione 19: riscrivere P(t) in modo tale da far comparire una nuova costante di tempo, τ_P, con la quale si riduce esponenzialmente la potenza.

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Lezione 23, Lun 8 novembre, 1h

Problemi vecchi e nuovi

Condensatori e recipienti portati all'equilibrio (e analogia con la termalizzazione):
→ problema nr. 2 della Lezione 22 (collegato al nr. 1 della Lezione 21)
- grandezza estensiva si conserva (carica o volume di acqua);
- grandezza intensiva (rispettivamente V_C o h) assume un valore 'intermedio';
- nel caso di condensatori e recipienti l'energia non si conserva.
  [Q.: Perché si conserva invece nel caso termico?]
  Nota: Con i dati numerici forniti la perdita percentuale di energia è la stessa nei due problemi!
  → Grandezze iniziali estensive e intensive sono proporzionali nei due casi.
Potenziale all'interno di una sfera uniformemente massiva
- Caccia agli errori:
  - screenshot da un testo di Matematica (da Bramanti et al., Es. 22, p. 435)
Lavagna telematica

Problemi
1. Completare i problemi su condensatori e recipienti discussi oggi.
  In particolare, e per entrambi i casi,
  - trovare l'espressione dell'energia persa in funzione di C₁, C₂, V₁ e V₂ (o, rispettivamente, di S₁, S₂, h₁ e h₂);
  - fare il limite di tali espressioni per C₁ ≪ C₂ (o per S₁ ≪ S₂).
    [Per capire meglio il significato delle formule ottenute si pensi ai casi limite di V₂=0 e h₂=0.]
2. Con riferimento all'esercizio 22, p. 435 di Bramanti et al.
  1. Trovare l'espressione del potenziale gravitazionale dentro la Terra (tanto per ricollegarci a problemi di inizio corso), raccordandosi alla 'ben nota' espressione del potenziale per r ≧ R_T nella quale lo zero del potenziale è scelto all'infinito.
  2. Estendere quindi il risultato a un ipotetico caso elettrostatico di una sfera uniformemente carica e si confronti il risultato con quanto ottenuto da MNV Esempio 3.2, pp. 63-64.
3. Con riferimento al problema al nr. 1 della Lezione 21, di cui abbiamo visto a lezione la soluzione all'equilibrio, trovare l'espressione della tensione nei due condensatori in funzione del tempo, se si assume che essi siano collegati (fra le armature positive, tanto per concordare la notazione) mediante una generica resistenza R.
  Suggerimenti:
  - si definisca il verso positivo della corrente che attraversa R quello che carica positivamente C₂, posto a destra, ovviamente togliendo carica positiva a C₁, posto a sinistra, ovvero I = dQ₂/dt;
  - si usi la carica totale, Q_tot, chiaramente conservata, da cui, istante per istante, Q₁(t) = Q_tot - Q₂(t);
  - risolvendo l'equazione differenziale a cui si arriva si otterrà V₂(t), da cui si ricava V₁(t) tramite semplici trasformazioni;
  - si ricavi anche, banalmente una volta nota V₂(t), l'espressione di I(t).

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Lezione 24, Gio 11 novembre, 2h

Varie su problemi in sospeso, con precisazioni e complementi

Problemi in corso
- Carica del condensatore che ha una resistenza in parallelo:
  - chiarimenti del concetto di resistenze in serie;
  - ripasso sulle leggi dei circuiti;
  - risoluzione dei circuiti mediante metodi di algebra lineare;
  - estensioni delle leggi dei circuiti nel caso di tensioni e correnti variabili nel tempo.
- Problema nr. 1 della lezione scorsa
- Andamento temporale con cui i due condensatori si portano all'equilibrio.
→ complementi_condensatori.pdf par. 5.8.2, 5.9 (esclusa 5.9.1)
Cenno a oscillazioni smorzate (→ da ripassare).

Lavagna telematica

Comandi di R per giocare con matrici

A = matrix(1:9, 3,3)
A
A = matrix(round(rnorm(100),3), 10,10)
A
iA <- solve(A)
iA
P <- iA %*% A 
P
diag(P)
A = matrix(round(rnorm(1000000),3), 1000,1000)
iA <- solve(A)
P <- iA %*% A 
diag(P)

[La funzione rnorm(n) genera n numeri (pseudo-)casuali secondo una gaussiana avente media 0 e deviazione standard 1.
Provare ad esempio a ripetere il comando rnorm(10) e confrontare con round(rnorm(10),3).
Inoltre, per eliminare le piccolissime fluttuazioni di calcolo numerico intorno allo zero, si può sostituire P <- iA %*% A con P <- round(iA %*% A, 10) ]

Soluzione in R dell'esempio guida del par. 2.9 di circuiti_in_corrente_continua.pdf:

esempio_guida.R

Problemi

Con riferimento all'esempio guida del par. 2.9 di circuiti_in_corrente_continua.pdf, si scrivano la matrice e il vettore per risolvere il problema con metodi di algebra lineare, e si verifichi con lo script R riportato sopra.
Si risolva il problema del condensatore con la resistenza in parallelo, confrontando la soluzione con quanto riportato nella Galleria.

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Lezione 25, Ven 12 novembre, 2h

Ancora sui problemi; circuito equivalente di Thevenin
Dettagli su elettrostatica
Riepilogo e approfondimenti sulle proprietà dei conduttori

Soluzione del problema del condensatore con la resistenza in parallelo:
→ vedi andamento correnti nella Galleria;
→ concetto di circuito equivalente (in questo caso di Thevenin).
[Nota Tale circuito equivalente si basa sull'omonimo teorema di Thevenin, che a sua volta deriva della linearità delle leggi dei circuiti (→ leggi di Kirchhof).
Per questo corso ci interessa solo la formulazione, in termini di generatore di tensione equivalente con resistenza equivalente in serie ad esso.
Si noti inoltre come nella risoluzione di questo problema non abbiamo fatto uso esplicito di tale teorema, bensì il concetto di circuito equivalente è venuto fuori spontaneamente analizzando/reinterpretando la soluzione ottenuta.]
Potenziale dentro e fuori una sfera uniformemente 'carica': caso della Terra, con notazione semplificata.
Sfera con cavità sferica all'interno (e problemi analoghi):
trucco matematico per evitare conti complicati.
Energia potenziale elettrostatica di un sistema di cariche
Proprietà dei conduttori: riepilogo e precisazioni.
1. Campo elettrico all'interno sempre nullo.
2. Carica elettrica (se esso è carico) si dispone sulla superficie.
3. Superficie equipotenziale:
  → se così non fosse ci sarebbero campi (netti) che farebbero muovere le cariche;
  → all'interno: potenziale costante e pari a quello della superficie;
  →campo esterno ortogonale alla superficie:
  1. quando si è vicinissimi, limite di piano uniformemente carico;
  2. se non fosse ortogonale, ci sarebbe un campo parallelo alla superficie, la quale non sarebbe più equipotenziale.
4. Maggiore densità di carica dove la curvatura è minore] [si pensi a sfera con protuberanza]:
  → densità di carica particolarmente elevata nelle punte (proprietà/'potere' delle punte).
5. Teorema di Coulomb: E = σ/ε₀ (normale a superficie: uscente se σ>0; entrante se σ<0.
  ⇒ Ove curvatura minore: σ maggiore → campo maggiore.
6. Cavità all'interno di un conduttore (di forma qualsiasi):
  - campo all'interno nullo, altrimenti l'integrale di E lungo una ipotetica linea di campo da un punto all'altro della cavità sarebbe diverso da zero;
  - ma se il campo è nullo in prossimità della superficie, anche σ deve essere nulla (→ E = σ/ε₀).
  ⇒ Campo all'interno della cavità sempre nullo, indipendentemente da quello che succede al conduttore e all'esterno: ⇒ → conduttore: schermo elettrostatico.
  (Vale approssimativamente anche se il conduttore ha dei buchi, e al limite anche per una rete: gabbia di Faraday.)

Lastra metallica in un condensatore piano

Lavagna telematica

Problemi

Modello classico dell'atomo di idrogeno (MNV Esempio 2.5, p. 39), in perfetta analogia con l'energia totale di satelliti in orbite circolari.
Energia potenziale elettrostatica di un sistema di tre cariche ai vertici di un triangolo equilatero. MNV Esempio 2.2, p. 34.
Ancora sul problema della carica del condensatore, e con riferimento alla figura nella Galleria:
→ come mai l'andamento di I₂ ricorda quello di carica e scarica di un condensatore?
Data la funzione del potenziale dentro e fuori una sfera massiva, i cui dettagli sono stati mostrati a lezione (vedi Galleria e script R relativo),
→ si ricavi l'espressione dell campo sia dentro e fuori della sfera e mostrare che torna con quanto già sapevamo.
Ancora sull'esempio guida del par. 2.9 (fig. 2.16) di circuiti_in_corrente_continua.pdf, di cui a suo tempo avevamo calcolato tutte le correnti e le tensioni nei vari punti:
→ si ponga un condensatore di 10 nF in parallelo a R₂, ovvero fra i punti B e C, e, facendo uso del teorema di Thevenin, si calcolino
1. la tensione a cui si carica il condensatore;
2. la costante di tempo di carica.

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Lezione 26, Lun 15 novembre, 1h

Momento di dipolo di un sistema di cariche

Richiami su campi e differenze di potenziale elettrico.
Potenziale di un dipolo in campo elettrico costante
→somma dei potenziali delle singole cariche
Campo 'lontano' dovuto a un sistema di cariche elettriche:
- termine equivalente a una carica totale puntiforme;
- termine di dipolo (importante se è nullo il primo termine);
- (eventuale termine di quadropolo, fuori programma)
- θ = 104.5°;
- d_OH = 9.6×10^-11 m;
- cariche effettive: q_H = 0.33e, q_O = -2q_H.

Problemi

Continuando quanto mostrato a lezione, calcolare il momento di dipolo di una molecola di acqua (avendo scelto l'origine con l'atomo di ossigeno).
[Nota: in questo caso d_OH corrisponde a r_i.]
Ripetere il calcolo, scegliendo però l'origine coincidente con l'atomo di idrogeno a sinistra nella figura.
Calcolare l'espressione dell'energia potenziale del dipolo di una molecola di acqua, in funzione dell'angolo, in presenza di campo elettrico E = 10 N/C.
Riscrivere l'espressione dell'energia potenziale avendo scelto il suo zero per angolo nullo fra dipolo e campo.

[Nota: prestare attenzione alle unità di misura, da riportare in tutti i passaggi.]

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Lezione 27, Mar 16 novembre, 2h

Induzione elettrostatica. Dielettrici.

Problema sul momento di dipolo di un sistema di cariche... e non solo
- Soluzione numerica.
- Richiami sulle cifre significative.
  (Chi ha dubbi può vedere qui — File pdf: par. 3.4, p. 41)
- Debye
- Provare a risolvere il problema nr. 2 proposto ieri.
- Analogie fra moto di traslazione e moto di rotazione intorno a un asse:
  → PromemoriaFisica1 par. 22.2, p. 125.
- Oscillazione del dipolo elettrico intorno alla direzione del campo elettrico.
Induzione elettrostatica (da FLMP)

Nota: durante la lezione non si riusciva ad accedere ai pdf in quanto venivano cercati nella home (..../~dagos/) e non nella pagina del corso (..../F2Ch/):
Nota: → provare a scaricarli

Problemi
1. Per quanto riguarda il problema nr. 4 di ieri, dopo aver riscritto l'espressione dell'energia potenziale per avere lo zero per θ=0, fare l'espansione per θ ≪ 1.
2. Due sfere di materiale conduttore, di raggio R₁ e R₂, hanno cariche Q₁ e Q₂. (Per l'esercizio numerico: R₁ = 2 cm, R₂ = 4 cm, Q₁ = 5 nC, Q₂ = 15 nC.)
  Esse sono inizialmente isolate e distanti. Si calcolino
  - i potenziali elettrici a cui esse si trovano;
  - la densità di carica superficiale su ciascuna di esse;
  - il campo elettrico in prossimità della loro superficie (ricavato in due o tre modi diversi!).
  Successivamente esse sono collegate con un filo conduttore, ma mantenute a distanza, in modo da trascurare gli effetti di induzione reciproca. Si calcolino:
  - le cariche Q₁' e Q₂' su ciascuna sfera;
  - il potenziale al quale esse si porteranno;
  - la densità di carica superficiale su ciascuna di esse;
  - il campo elettrico in prossimità della loro superficie.

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Lezione 28, Gio 18 novembre, 2h

Breve rassegna di argomenti trattati
Dielettrici

Nuovi file pdf scaricabili dal sito
(cogliendo l'occasione per passare in rassegna alcuni argomenti trattati, con precisazioni e commenti)
Att: uno dei file è stato sostituito, al fine di includere anche p. 745.
Un problema di riscaldamento sulle proprietà dei conduttori: problema 19.1 FLMP
→ esteso a problema nr. 2 della scorsa lezione.
Introduzione ai dielettrici con alcuni video (in mancanza del laboratorio):
- Materiali dielettrici — Parte 1
- Materiali dielettrici — Parte 2
  Nota: al momento il vettore spostamento D è fuori programma.
MNV par. 4.6
Note:
- L'esempio della lastra conduttrice (inizio p. 86) ovviamente non riguarda i dielettrici, ma è solo per mostrare cosa succede in tal caso.
- Att. ad alcuni simboli: κ → ε_r; E_κ → E_r
  [Anche su Wikipedia ε_r è indicata con... ε_r; (vedi qui, or here).]
- Tabella 4.1 per alcuni valori di ε_r; e di rigidità elettrica.
  (E a proposito della conducibilità dell'acqua, si veda ad esempio qui)

Problemi

Problema nr. 2 della scorsa lezione, illustrato a lezione.
MNV, Esempio 4.11, p. 90.

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Lezione 29, Ven 19 novembre, 2h

Ancora induzione elettrostatica e dielettrici
Movimento di cariche nei conduttori

Esempi di induzione completa (da FLMP).
Capacità di una sfera (non di 'condensatore sferico'!)
→ rivedere problema delle due sfere alla luce di questa osservazione.
Ancora dielettrici (MNV par. 4.7).
Movimento di cariche nei conduttori
- Alcuni valori di resistività
- A proposito di velocità di scorrimento della corrente elettrica: vedi ad esempio qui
- Per la conducibilità dell'acqua vedi ad esempio qui
Parentesi metrologica sulla definizione del chilogrammo:
- inizialmente definito come la massa di un liro di acqua;
- già i romani avevano basato la libbra sul piede cubo (un ottantesimo di questo).
  (piede → passo → miglio).

Problemi

Esempio 4.11, MNV p. 90
(provare a risolverlo da soli, in analogia al caso della lastra metallica posta in un condensatore piano di inizio p. 86, discusso ripetutamente a lezione).
Completare l'esercizio sulla velocità di deriva di elettroni del rame, usando una sezione di 1 mm² e una corrente di 1 A.
Altri dati:
- 1 elettrone di conduzione per ogni atomi;
- densità: 8.9 g/cm³;
- massa molare: 63.5 g/mol.
Continuazione del problema precedente:
1. calcolare il tempo impiegato da un elettrone per percorrere 100 m di conduttore, riportando il risultato in secondi, in ore e... in giorni;
2. valutare la densità di corrente J nel modo più semplice, ovvero dalla corrente e dalla sezione del conduttore;
3. valutare la densità di corrente J facendo uso della velocità di deriva ottenuta precedentemente;
4. calcolare il numero di elettroni che attraversano la sezione del conduttore per unità di tempo.
[Nota: si faccia attenzione a non confondere la densità del materiale (massa/volume) con la densità dei portatori di carica (numero di portatori su unità di volume), indicata a lezione con lo stesso simbolo.
(E nel seguito ρ è anche usato per la resistività: quindi si presti attenzione e ci si eserciti a associare sempre un nome ai simboli che si incontrano nelle formule!)]
Problema 4.15, p. 102 MNV.
Problema 4.29, p. 104 MNV.
Problema 4.32, p. 105 MNV.
Problema 4.34, p. 105 MNV.
Ancora sul problema precedente (alcune domande rappresentano passaggi intermedi o servono da chiarimento rispetto ai quesiti posti nel testo, al fine di avere un quadro fenomenologico di quello che succede):
1. Prima che venga inserita la lastra isolante, valutare
  1. la carica e la densità di carica sulle armature;
  2. il campo elettrico fra le lastre;
  3. la capacità elettrica;
  4. l'energia potenziale immagazzinata nel condensatore
2. Si calcoli la suscettività elettrica del dielettrico.
3. Dopo che la lastra isolante è stata inserita, valutare
  1. la densità di carica σ_p sui piani della lastra isolante;
  2. la carica q_p sui piani della lastra dovuta alla polarizzazione del dielettrico;
  3. il campo dovuto alla sola densità di carica sui piani della lastra dovuta alla polarizzazione del dielettrico;
  4. il campo totale fra le lastre, ovvero la somma fra quello che c'era prima che venisse inserita la lastra e quello dovuto alla polarizzazione del dielettrico stesso;
  5. il momento di dipolo totale del dielettrico, ottento dal vettore di polarizzazione P e dal volume occupato dal dielettrico;
  6. la nuova capacità elettrica;
  7. l'energia potenziale immagazzinata nel condensatore;
4. Infine, domanda più difficile, non essendo indicato nel testo il tipo di materiale isolante:
  - da un ragionevole valore del numero di 'oggetti' (atomi o molecole) del dielettrico si calcoli il momento di dipolo elettrico medio <p>, esprimendolo in Debye e confrontandolo con il momento di dipolo dell'acqua.
  [Si facciano ragionevoli ipotesi e si confrontino i risultati numerici, tenendo conto che quello che conta in questi casi è di farsi un'idea dell'ordine di grandezza del valore di interesse]

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Lezione 30, Lun 22 novembre, 1h

Forze magnetiche

Commenti sugli ultimi problemi raccomandati.
Dimostrazioni qualitative con geomag
(dipolo realizzato con due geomag uniti fra di loro e sospesi mediante fil di refe fra di essi).
Analogia fra dipolo elettrico in campo elettrico e dipolo magnetico in campo magnetico (qualsiasi cosa sia un dipolo magnetico...)
Forza magnetica su una carica in movimento
Forza totale su un oggetto carico (elettrica, magnetica... e gravitazionale)
Esempi notevoli:
- forza elettrica e magnetica parallele e opposte:
  → selettore di velocità;
- traiettoria di una particella di velocità nota in campo magnetico uniforme
  → spettrometro di massa.
→ provare a giocare con il simulatore linkato nella Galleria di immagini al fine di acquisire familiarità con acceleratori elettrostatici, selettori di velocità e spettrometri di massa.

Problemi

Nel caso in cui forza elettrica e forza magnetica su una carica in movimento siano parallele trovare la condizione per cui la velocità sia nulla.
Nel caso in cui il vettore velocità di una particella di carica q e massa m giaggia nel piano ortogonale al campo magnetico B, uniforme in una certa regione di spazio,
- determinare l'accelerazione a cui tale particella è sottoposta.
(Continuazione) Dire come sono orientati, istante per istante, il vettore velocità e il vettore accelerazione.
Dai due quesiti precedenti si evince che la particella sia soggetta (almeno parzialmente) a un moto circolare uniforme. Trovare quindi, in funzione dei parametri del problema (q, m, v, B):
1. il raggio del cerchio;
2. il periodo di rotazione;
3. la velocità angolare del moto (che in questo caso ha anche il significato di pulsazione);
4. la frequenza di rotazione.
In particolare: quali di queste grandezze non dipende dalla velocità della particella?
Si immagini che, invece, la velocità della particella formi un angolo di 60° con il campo magnetico (nei problemi precedenti tale l'angolo era di 90°).
Si disegni la traiettoria a cui è soggetta la particella e si calcolino, in funzione dei parametri del problema (q, m, v, B, θ),
1. il raggio del cerchio ottenuto proiettando la traiettoria della particella nel piano ortogonale a B;
2. il periodo di rotazione;
3. di quanto avanza la particella lungo la direzione di B quando la proiezione della sua traiettoria sul piano trasverso ha B ha compiuto un giro.

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Lezione 31, Mar 23 novembre, 2h

Ancora forze magnetiche

Orientamento dell'ago della bussola e convenzione sul verso positivo del campo magnetico (quello che punta verso il Nord geografico) e sui poli dell'ago (N quello che punta verso Nord).
Acceleratore elettrostatico di particelle cariche.
Selettore di velocità.
Moto circolare uniforme di una particella carica in campo magnetico
(caso di velocità nel piano ortogonale al campo magnetico):
- raggio di curvatura;
- uso come 'spettrometro' di massa;
- indipendenza dalla velocità di periodo (e quindi di frequenza e pulsazione):
  - Ciclotrone
  - A proposito: generatore di tensione alternata:
    - al posto di f costante, possiamo immaginare f(t) = f₀ cos(ω t);
    - in un circuito 'puramente ohmico' valgono, istante per istante, le solite leggi dei circuiti;
    - se invece sono presenti altri elementi (a cominciare da un condensatore) le cose si fanno più divertenti.
    (Forse potremo fare qualcosa nelle prossime settimane.)
Caso del vettore v che forma un certo angolo con B:
- componente ortogonale ('trasversa') a B: moto circolare uniforme;
- componente parallela ('longitudinale') a B: moto rettilineo uniforme.
→ il risultato è un moto 'Moto elicoidale uniforme'
Conduttore percorso da corrente
→ semplice forza di Lorentz sulle cariche in movimento.

Problemi

Un elettrone, inizialmente (praticamente) fermo, è accelerato attraversando una differenza di potenziale di un milione di volt. Si calcolino:
1. la sua energia cinetica finale, sia in eV che in joule;
2. la velocità raggiunta, ottenuta dalla formula 'classica' dell'energia cinetica.
Si confronti tale velocità con la velocità della luce ('c'):
→ c'è qualcosa che non va?
Si ripeta il problema con un protone.
L'energia 'di massa' di una particella è data dalla famosa E = m c², ove c è la velocità della luce.
→Si calcoli tale energia per un elettrone, esprimendo il risultato sia in joule che in eV.
Dall'espressione del modulo della forza magnetica, esprimere l'unità di misura del campo magnetico (tesla, T)
- in funzione di newton, ampere, metro;
- in funzione di kg, ampere, secondo.
(Problema 22.1 da FLMP: figura)
Il lato AB (di lunghezza L=4cm) è libero di scorrere senza attrito su una guida orizzontale. Il circuito è immerso in un campo magnetico esterno B = 0.1 T ad esso perpendicolare e uscente rispetto a chi guarda. Se nel circuito viene fatta passare una corrente I = 3 A nel verso indicato in figura, si calcoli la forza che bisogna applicare al lato AB affinché esso resti in quiete.
Variante A) del problema, assumendo che il circuito abbia una forma rettangolare, i lati orizzontali siano lunghi 5 cm e che il lato AB sia, contrariamente alla traccia originale, fissato rigidamente alla guida (quindi i due fili a destra di A e di B sono irrilevati):
1. calcolare la forza che si esercita su ciascun lato del rettangolo, specificando chiaramente direzione e verso di ciascuna forza, considerando ininfluenti il fatto che sul lato orizzontale superiore ci siano anche il generatore e il resistore;
2. calcolare la forza totale che si esercita sul circuito e dire cosa le succede se non è perfettamente rigida.
Variante B) del problema, con le stesse assunzioni della variante A), ma ipotizzanto che il campo magnetico sia orizzontale (sul piano definito dal circuito) e diretto verso destra:
1. calcolare la forza che si esercita su ciascun lato del rettangolo, specificando chiaramente direzione e verso di ciascuna forza, considerando ininfluenti il fatto che sul lato orizzontale superiore ci siano anche il generatore e il resistore;
2. calcolare la forza totale che si esercita sul circuito;
3. calcolare il momento della forza che si esercita sul circuito.

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Lezione 32, Gio 25 novembre, 2h

Ancora forze magnetiche
Sorgenti di campo magnetico

Commenti sui problemi 1 e 2 della volta scorsa:
→ limite classico di vari concetti incontrati.
Note sulle varie 'regole delle dita' per capire gli orientamenti dei prodotti scalari.
Ancora forza magnetica su tratto di conduttore percorso da corrente.
Problemi nr 6 e 7 della volta scorsa: forze e momenti delle forze su circuiti.
Applicazione: motore in corrente continua (principio di funzionamento)
- video su Youtube
Momento magnetico di una spira
Campo magnetico dovuto a correnti (cariche in moto!)
- Scoperta di Oersted: corrente deflette ago magnetico.
- Legge di Biot-Savart.
- Prima legge elementare di Laplace, da cui si può derivare la legge di Biot-Savart
  (dettagli al momento fuori programma^(*) — si noti invece l'analogia con il campo elettrico dovuto a un filo infinito).
  [^(*) Vedremo nella prossima lezione come ottenere tale risultato senza il conto dettagliato]
- Interpretazione della legge in termine dei portatori di cariche.
- Campo magnetico lungo l'asse di una spira.

Problemi

Esercizio sulla trasformazione delle unità di misura (e non solo!):
Dati i valori di ε₀ e di μ₀, espressi in unità di misura appropriati (si veda sul testo o su Wiki), si calcoli il valore l'inverso della radice quadrata del loro prodotto, ovvero 1/sqrt(ε₀*μ₀), espresso in m/s.
Ricorda qualcosa?
Problema 7.1 MNV.
Problema 7.3 MNV.
Problema 7.4 MNV.

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Lezione 33, Ven 26 novembre, 2h

Campo magnetico prodotto da correnti elettriche

Precisazione sul campo magnetico di una singola carica in moto.
Dalla formula di Laplace alla legge di Biot-Savart.
Solenoide: dettagli e idealizzazione del caso infinito
→ Galleria
Forza magnetica fra conduttori paralleli rettilinei paralleli
→ Risolvere come esercizio.
Teorema di Gauss per campo magnetico.
Teorema della circuitazione di Ampère
- Introduzione qualitativa: linee di campo chiuse → circuitazione lungo una linea di campo è diversa da zero.
- Enunciato.
- Derivazione della legge di Biot-Savart
- Campo all'interno di un conduttore cilindrico.
- Campo all'interno di un solenoide infinito.

Lavagna telematica

Problemi

Due fili rettilinei 'infiniti' sono percorsi ciascuno da una correnti parallele e nello stesso verso di intensità 1A. Calcolare la forza per unità di lunghezza fra i due fili, dicendo se essa è attrattiva o repulsiva.
(Da FLMP, 21.2) Due conduttori sono costituiti 'da gusci cilindrici coassiali infiniti', di spessore trascurabile e di raggio rispettivamente 3 cm e 5 cm (in pratica un tubo dentro l'altro). Essi sono percorsi da correnti in verso opposto, di 2 A nel conduttore interno e 4 A in quello esterno.
Si calcoli il campo magnetico in modulo, direzione e verso alle seguenti distanze dall'asse dei cilidri:
1. a 1 cm (ovvero dentro il tubo di raggio minore);
2. a 4 cm (fra un tubo e l'altro)
3. a 8 cm (fuori dal tubo di raggio maggiore).
Si ripeta il problema nel caso che il verso delle due correnti sia opposto.
(Da FLMP, 21.3): immagine con testo e figura (l'immagine contiene anche il problema precedente).
(Da FLMP, 21.5): immagine con testo e figura
(Da FLMP, 21.5): vedi immagine problema precedente.
(Da FLMP, 21.13, leggermente riformulato) Un solenoide è costruito a partire da un filo di rame (ρ = 1.78 ×10^^-8 Ω·m) lungo 6.7 m, di diametro 1.2 mm e ricoperto da una guaina isolante di spessore trascurabile. Il filo viene arrotolato, secondo la regola di avvitamento di una vite, su un cilindro di plastica, avente un diametro di 2 cm, in modo tale che tutte le spire si tocchino ma senza mai sovrapposri. Il solenoide viene poi calcolato a una batteria di 24 V.
Determinare:
1. la resistenza del filo;
2. la corrente che lo attraversa;
3. il numero di spire del solenoide;
4. la lunghezza del solenoide;
5. il numero di spire per unità di lunghezza;
6. il campo magnetico al suo interno, facendo l'approssimazione si solenoide infinito.

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Lezione 34, Lun 29 novembre, 1h

Introduzione alle correnti alternate

Solenoide con nucleo di ferro (vedi Galleria):
cenni alla permeabilità magnetica relativa μ_r (analoga di ε_r):
- μ = μ₀ μ_r
- Campo magnetico di un solenoide: B = μ n I
Introduzione ai circuiti in 'corrente alternata' (sinusoidale)
- Generatore sinusoidale e sola resistenza:
  → relazione fra tensione del generatore e corrente circolante nel ciscuito.
- Generatore sinosuidale con solo condensatore (situazione idealizzata!): → relazione fra tensione del generatore e corrente circolante nel ciscuito.
- Nota ad hoc sulle questioni matematiche connesse (→ '03').
  → Non vi fate venire in mente di riscrivere le formule per eliminare i numeri complessi a denominatore!

Comandi R

Per mostrare sfasamenti di ± π/2:

omega = 1       # (s^-1)   tanto per metterci qualcosa
T = 2*pi/omega
curve( cos(omega*t), -T/2, 1.5*T, xname='t', lwd=2, ylab='sinusoidi')
grid()
curve( cos(omega*t + pi/2), xname='t', lwd=2, col='red', add=TRUE)
curve( cos(omega*t - pi/2), xname='t', lwd=2, col='green', add=TRUE)

sfasamenti di ± π/10, per capire meglio la sinusoide che anticipa e quella che ritarda (→ vedi Galleria)

omega = 1       # (s^-1)   tanto per metterci qualcosa
T = 2*pi/omega
curve( cos(omega*t), -T/2, 1.5*T, xname='t', lwd=2, ylab='sinusoidi')
grid()
curve( cos(omega*t + pi/10), xname='t', lwd=2, col='red', add=TRUE)
curve( cos(omega*t - pi/10), xname='t', lwd=2, col='green', add=TRUE)

Per quanto riguarda somma e prodotto di numeri complessi si veda figura in Galleria (con script R)

Problemi

Dati i seguenti numeri complessi
- a = 3 + 4i
- b = 1/sqtr(2) + i/sqrt(2), ove 'sqrt(2)' sta per 'radice di 2' (valore esatto e non approssimato)
- c = 3 - 4i
- d = -3 + 4i
- e = -b
1. Rappresentare i numeri sul piano complesso;
2. trovare modulo e fase di ciascuno.
A partire di numeri complessi del problema precedente, eseguire le operazioni che seguono:
- a*b
- a*a
- e*b
e
1. rappresentare i risultati sul piano complesso;
2. trovare modulo e fase di ciascuno.
Calcolare modulo e fase, e rappresentare sul piano complesso
- b^n
con n intero da 2 a 10.
(Una volta calcolate le prime due potenze e ricordandosi delle regole di moltiplicazione mediante moduli e fasi il resto viene 'automaticamente' con conti.)

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Lezione 35, Mar 30 novembre, 2h

Circuito RC sinusoidale — Introduzione

Introduzione nella nota di ieri (→ '03').
Vecchia dispensa: Circuiti.pdf: par 2.2.3 pp. 20-23
- le pp 4-10 possono servire da ripasso su carica e scarica del condensatore.
- le pp. 11-20 offrono un'introduzione alternativa al regime sinusoidale e all'impedenza complessa.

Problemi

Un circuito costituito da due resistenze, rispettivamente da 20 e 100 Ω è alimentato da una pila da 12 V.
→ Si calcolino
1. l'intensità di corrente che circola nel circuito;
2. la tensione ai capi delle due resistenza;
3. la potenza dissipata per effetto Joule su ciascuna di esse.
Un circuito ha una resistenza da 10 kΩ in serie a un condensatore da 10 nF.
Calcolare la costante di tempo quando esso è collegato a un generatore di tensione continua.
In particolare,
1. dire dopo quanto tempo il condensatore ha raggiunto il 90% del valore che raggiungerà asintoticamente;
2. quanto vale in quell'istante il valore della corrente rispetto al massimo che raggiunge durante la carica,
3. e dire pure per quale istante la corrente è massima.
(Ovviamente tutti i tempi sono a partire da quando si effettua il collegamento).
(Continuazione del problema precedente)
Successivamente si pensa di utilizzare gli stessi componenti con un generatore di tensione sinusoidale, la cui tensione è variabile con continuità da pochi Hz fino a 1 MHz, la cui ampiezza viene mantenuta fissa a 1.00 V.
1. Calcolare pulsazione di taglio e frequenza di taglio di tale circuito (ovvero ω_T e ν_T).
2. Si immagini di alimentare il circuito con una frequenza pari esattamente a ν_T:
  1. si calcolino ampiezza e fase della tensione ai capi di R;
  2. si calcolino ampiezza e fase della corrente che circola nel circuito.
3. Si ripeta l'esercizio per i casi in cui
  1. la frequenza di alimentazione è pari al 10% di della frequenza di taglio ν_T;
  2. la frequenza di alimentazione è pari a 10 volte la frequenza di taglio ν_T;
Sulla falsariga di quanto fatto a lezione per il fasore che descrive la tensione ai capi di R, si trovi l'espressione del fasore della tensione ai capi di C.
Si trovino quindi:
1. l'espressione dell'ampiezza di tensione ai capi di C in funzione della frequenza;
2. l'espressione dello sfasamento della tensione ai capi di C in funzione della frequenza.
Sul problema precedente: come si può giustificare qualitativamente il fatto che a frequenze bassissime la tensione ai capi di C è praticamente uguale a quella del generatore, sia in ampiezza che in fase?
Si immagino due condensatori, di capacità C₁ e C₂, posti in serie. Si calcoli l'impedenza totale in due modi diversi, ovvero,
- calcolando prima la capacità equivalente dei due condensatori in serie, da cui l'impedenza equivalente;
- calcolando l'impedenza di ciascuno e poi l'impedenza della serie
e si confrontino i risultati.
Si osservi la figura in Galleria della Potenza in regime sinusoidale su carico (ideale) puramente capacitivo e dagli andamenti di tensione e corrente (entrambi normalizzati rispetto al loro valore massimo) si cerchi di capire l'andamento della potenza in funzione del tempo.
In particolare, si pensi al flusso di energia che entra o esce dal condensatore.

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Lezione 36, Gio 2 dicembre, 2h

Circuito RC in regime sinusoidale
Matematica di un circuito RLC in regime sinusoidale

Problemi in corso
Introduzione nella serie di un (per ora) ipotetico circuitale la cui impedenza è data dall'espressione jωL, ovvero:
- il modulo dell'impedenza cresce linearmente con la frequenza;
- la fase dell'impedenza vale +π/2.
- L è per ora un fattore di proporzionalità aventi dimensioni Ω·s.
Foto della lavagna (nella figura raffigurante il circuito è mancante l'elemento circuitale associato a L).
Ampiezza e fase della tensione ai capi di R e di C in funzione della frequenza.
Grafica con script R (vedi in Galleria)
[^(*) Non mostrati a lezione, in quanto sulla pennetta c'erano gli script usati per produrre le figure in Galleria, ora rinominati potenza_sinusoidale_R_file.R e potenza_sinusoidale_C_file.R.]
Guida al materiale online:
- da Circuiti.pdf:
  - Fig. 12, che mostra l'impedenza del circuito, con i due contributi
  - pp. 20-22, sull'applicazione del metodo simbolico al circuito RC
  - Fig. 8 sul significato dei 'vettori ruotanti'
  - Fig. 9, che mostra Ampiezza e fase di oscillazione di V_C
  - Fig. 10, che mostra Ampiezza e fase di oscillazione di V_R
  - Osservazioni a pp. 17-18
Potenza in regime sinusoidale per un 'dipolo' avente una generica impedenza collegato al generatore (→ nota '03')

Problemi

In analogia a quanto fatto per il circuito con resistenza e condensatore in serie alimentati da tensione sinusoidale, si studi il comportamento di un circuito con resistenza e l'ipotetico (per il momento) elemento circuitale caratterizzato da L, ovvero:
- scrivere l'espressione dell'impedenza totale;
- scrivere l'espressione del fasore corrente;
- scrivere l'espressione dei fasori delle tensioni ai capi di R e di L;
- trovare ω_T;
- trovare le espressioni di ampiezza e fase delle tensioni ai capi di R e di L, e in particolare
  - per ω = ω_T;
  - per ω → 0;
  - per ω → ∞.

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Lezione 37, Ven 3 dicembre, 2h

Ancora su circuiti in regime sinusoidale
Induzione magnetica

Precisazioni sulla potenza in corrente alternata: differenza fra watt e volt-ampere (VA, V·A): → potenza apparente:
- la potenza 'apparente' è semplicemente il prodotto della tensione efficace;
- per ottenere la potenza 'vera' bisogna moltiplicare per il coseno della differenza delle fasi ('fattore di potenza')
Sul concetto e l'importanza della risonanza: qualche esempio:
- Dimostrazione in aula con materiale dimostrativo degli attenuatori per gli interferometri per Onde Gravitazionali
  (video di Memex - Galileo, da 25:00, con la collega del canale 1)
- Risonanza fra due diapason: video YouTube.
- Come rompere un bicchiere per risonanza: video su YouTube.
- Come anche un sordo può accordare una chitarra (a partire da una corda accordata):
  → chi ha una chitarra e può fare un video lo può mandare!
Circuiti RC e RCL come filtri.
- RC: filtro passa basso o passa alto, a seconda che il segnale sia prelevato ai capi di C o ai capi di R:
  ν_T (ω_T/2π) ha quindi il significato di frequenza di taglio;
- RCL: filtro passa banda:
  - ω₀ ha il significato di frequenza di risonanza;
  - la larghezza di banda indica invece quanto è selettivo il filtro:
    - dipende sicuramente da R: per R → 0 l'ampiezza di corrente tende a infinito (curva di risonanza molto stretta);
    - definendo, più precisamente, la larghezza di banda Δω come l'intervallo fra i due valori di ω per cui la curva di risonanza acquista un valore pari a 1/sqrt(2) del massimo, si può provare che
      Δω = R/L, da cui
      Δω/ω₀ = Δν/ν₀ = R*sqrt(C/L).
Introduzione sperimentale (qualitativa) all'induzione magnetica
- magneti permanenti lasciati cadere dentro un tubo di allumini;
- torcia ricaricabile a scuotimento (shakelight).
(E, su tema collegato, principio di funzionamento di un altoparlante -- in pratica la realizzazione è un po' diversa.)

Problemi

Completare i problemi delle ultime lezioni.
Per quanto riguarda il circuito con RLC in serie ('circuito RLC'), del quale avevamo visto la scorsa lezione l'espressione dell'intensità della corrente,
1. trovare l'espressione della fase della corrente in funzione della frequenza;
2. in particolare, trovare l'espressione del suo valore per ω=ω₀ e per la frequenza che tende a zero o a infinito.
Sul problema precedente: trovare l'espressione di ampiezza e fase della tensione ai capi di C, e in particolare a cosa si riduce per ω=ω₀ e per la frequenza che tende a zero o a infinito.
Data una tensione sinusoidale di ampiezza V₀ applicata a un circuito di impedenza totale Z 'vista' dal generatore, riscrivere l'espressione della potenza media erogata dal generatore al circuito in modo che nella formula appaiano V₀, il modulo e la parte reale dell'impedenza.
Un circuito ha un resistore di 100 Ω posta in serie a un condensatore di 2.2 μF. Esso viene alimentato da una tensione di 100 mV e frequenza variabile. Si calcolino ampiezze e fasi delle densioni ai capi dei due elementi circuitali e la potenza assorbita dal circuito per
1. ν = 100 Hz;
2. ν = 10 kHz.
Un circuito RLC è caratterizzato da R = 50 Ω, C = 20 nF e L = 0.01 Ω·s.
Si trovi la tensione (ampiezza e fase) ai capi di R quando il circuito è alimentato da una tensione sinusoidale di 1 volt alle seguenti frequenze
1. ν = 1 kHz;
2. ν = 10.8 kHz;
3. ν = 11.3 kHz;
4. ν = 11.7 kHz;
5. ν = 100 kHz.
(Particolarmente importanti sono i valori in grassetto, quindi si cominci da questi, e in particolare da 11.3 Hz.)
(Importante continuazione del problema precedente)
Per la sola frequenza di 11.3 kHz si calcolino anche le tensioni (ampiezze a fasi) ai capi di C e di L.
Quanto vale quindi la tensione ai capi della serie fra C e L? (Si assuma che tali elementi circuitali siano contigui.)
Qualche esercizio sui numeri complessi:
1. trovare la radice quadrata del numero complesso j;
2. trovare la radice quadrata del numero complesso -j.

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Lezione 38, Lun 6 dicembre, 1h

Induzione magnetica

Problemi in corso: rapida rassegna.
In particolare, per quanto riguarda il nr. 8 sui numeri complessi, ecco la soluzione mediante comandi R:
```
a = 1i
sqrt(a)
-sqrt(a)
abs(sqrt(a))
Arg(sqrt(a))
Arg(sqrt(a)) * 180/pi
abs(-sqrt(a))
Arg(-sqrt(a))
Arg(-sqrt(a)) * 180/pi
       
```
(Provare a riottenere i risultati facendo i conti a mano; ripetere i comandi con a = -1i)
Galvanometro, per ripasso e per introdurre un utile strumento (nella versione storica):
→ Galleria
Introduzione all'induzione magnetica.
- Dimostrazioni in aula (con un po' di fantasia...) e altri fenomeni illustrati con figure:
  - Scoperta di Faraday dell'induzione elettromagnetica:
    → Galleria
  - Elettricità generata da moto relativo di un magnete e una bobina:
    → Galleria
    (→ estensione a due spire in moto relativo).
  - Altoparlante usato come... microfono.
  - Caduta del magnetino nel tubo di alluminio (non ferromagnetico!):
    - il magnetino non scende in caduta libera: ci deve essere una forza (necessariamente magnetica!) che si oppone;
    - se il tubo produce un campo magnetico, significa che ci sono, istante per istante, in prossimità del magnetino, 'spire' di corrente elettrica sulla superficie del tubo:
      → il campo magnetico generato dalle spire è opposto a quello del magnetino che sta cadendo.
    Interessante video dell'esperimento del tubo (interessanti le reazioni di chi lo vede).
    [Canale Youtube Veritasium fortemente raccomandato! ]
    Altro interessante video nel quale si mostra come l'effetto sia effettivamente dovuto a correnti indotte intorno al tubo
    [e 'si vede' anche la corrente, grazie a un led, anche se in questo caso la corrente circolante (inversamente proporzionle alla resistenza dell'avvolgimento) è ridotta e quindi l'effetto 'frenante' sul magnete diminuisce.]
  - Elettricità generata da una spira che ruota in campo magnetico (caso particolare di 'moto relativo fra magnete e bobina')
    → Galleria
- Slides raccomandate (sia come ripasso che come introduzione all'induzione):
  - Il fenomeno dell’induzione elettromagnetica: la legge di Faraday-Neumann-Lenz del Prof. F. Lacava.
    (copia locale)
    - A p. 9 delle slides la legge di Faraday-Neumann e quella di Lenz sono condensate in quella che viene formulata come legge di Faraday-Neumann-Lenz;
    - a p. 18 si parla del 'tubo di Lenz', di nostra conoscenza.
- Sulla Legge di Lenz ben fatto questo video su Youtube
  → da vedere, ci ritorneremo a lezione.

Problemi

Si immagini una spira circolare conduttrice, di superficie S, in una regione di spazio in cui c'è un campo magnetico costante di intensità B, inizialmente ortogonale al piano della spira. Successivamente la spira viene fatta ruotare intorno a un suo diametro alla frequenza ν. Sapendo inoltre che il conduttore della spira ha una resistenza R,
1. si derivi l'espressione della corrente che circola nella spira (funzione del tempo!);
2. si derivi l'espressione della potenza media dissipata sulla spira per effetto Joule;
3. si derivi l'espressione dell'energia che bisogna fornire alla spira per mantenerla in rotazione per un tempo Δt.
Infine si calcoli il valore di tali grandezze nel caso di S = 100 cm², B = 100 T, ν = 50 Hz, R = 10 Ω e Δt = 1 h.
Avendo citato il video su Youtube sulla Legge di Lenz, si raccomanda di risolvere il quesito proposto nel video successivo della stessa playlist:^(*)
→ Provare a risolverlo prima di vedere la soluzione!
[^(*) Altri video interessanti per ripassi/chiarimenti, anche grazie all'ottima grafica e animazione, possono essere i primi 9 della playlist ]

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Lezione 39, Mar 7 dicembre, 2h

Induzione e autoinduzione.
Induttanza e suo ruolo nei circuiti

Precisazioni sul calcolo del flusso di B.
Ovviamente B potrebbe dipendere da punto a punto:
→ integrale complicato, ma la sostanza non cambia (dettagli fuori programma).
Ancora sulla Legge di Lenz: video su Youtube
Autoinduzione, introdotta con video della stessa playlist del precedente:
- Autoinduzione e Induttanza
  ⇒ Finalmente abbiamo dato un senso fisico a L!
  ⇒ → induttanza [ 1 Ω·s = 1 H = 1 Wb/A, essendo il weber l'unità di misura del flusso magnetico del Sistema Internazionale ]
Accensione e spegnimento di un circuito con resistenza e induttanza
- equazione differenziale analoga ad altre tre viste durante il corso;
- andamenti esponenziali di I(t);
- costante di tempo
- energia associata con lo scorrimento di corrente.
Scarica di un condensatore in un circuito ideale con soli C e L:
→ analogia meccanica
→ effetto di una resistenza (e ulteriore analogia meccanica).
Rianalisi del circuito RLC serie alimentato con generatore sinusoidale alla luce dell'interpretazione fisica dell'elemento caratterizzato da impedenza pari a jωL.
→ analogia meccanica;
→ transiente con equazione differenziale risolta numericamente mediante R.
→ Script R: RLC_transiente.R
→ [Dettagli fuori programma, ma importante capire qualitativamente l'andamento di V_C(t) → Q(t) → 'x(t)' in oscillazioni meccaniche.
→ [Chi fosse inoltre interessato al package usato, può vedere su r-forge.]

Documentazione

Circuiti.pdf:
- par. 3, pp. 26-30;
- par. 4.1, pp. 31-34;
- par. 4.3, pp. 37-43.

Problemi

Fare i problemi nr 6 e 7 della lezione 37, in particolare alla luce di quanto visto nella lezione odierna e calcolare il valore numerico del fattore 'Q' (per ora definito come rapporto fra l'ampiezza di V_R e quella del generatore).
In analogia con quanto fatto per l'RC, risolvere il circuito RL alimentato in regime sinusoidale, ossia
1. trovare l'espressione della frequenza di taglio;
2. trovare le espressioni di moduli e fasi di V_R e V_L in funzione della frequenza.
Confrontare infine i risultati con quanto trovato per l'RC.
Scrivere l'espressione di I(t) di un circuito RL nelle fasi di 'accensione' e 'spegnimento'.
Continuazione del problema precedente:
1. scrivere l'espressione della potenza dissipata per effetto Joule;
2. scrivere l'espressione dell'energia totale dissipata per effetto Joule durante lo spegnimento:
  → energia associata all'induttanza nell'istante in cui il circuito cessa di essere alimentato dal generatore.
Provare ad eseguire lo script RLC_transiente.R cambiando anche i valori della frequenza del generatore (variabile 'nu'), usando, ad esempio i valori del problema 6 della lezione 37.
(Per cambiare, eventualmente, la scala delle ascisse modificare la variabile 't.max'.)
Dato un solenoide di lunghezza l, raggio R e N spire, che consideriamo ideale (spire molto fitte e l molto maggiore di R, in modo che il campo magnetico sia pressoché omogeneo al suo interno):
1. si trovi l'espressione del campo magnetico al suo interno;
2. si trovi l'espressione del flusso del campo concatenato con ciascuna spira del solenoide;
3. si trovi l'espressione del flusso del campo concatenato con l'intero solenoide;
4. si trovi infine l'espressione del coefficiente di autoinduzione L.
Si trovino quindi i valori numerici nel caso di N=1000, R = 1 cm, l=20 cm.
(Facile) continuazione del quesito nr. 6.1: si inverta la relazione ottenuta in modo tale da esprimere l'intensità di corrente in funzione del campo B e dei parametri del solenoide.
Continuazione (molto importante!) dei quesiti nr. 4.2, 6.4 e 7:
1. sostitendo nell'espressione dell'energia associata all'induttanza (e quindi alla corrente circolante) del punto 4.2 le espressioni di L e di I ricavate nei punti 6.4 e 7,
  si ricavi l'espressione dell'energia in funzione di B e del volume della spira;
2. si ricavi quindi l'espressione dell'energia 'magnetica' per unità di volume.
Si confronti il risultato con quanto ottenuto a suo tempo, nel caso di un condensatore piano, per l'energia elettrostatica per unità di volume, funzione del campo elettrico all'interno del condensatore.

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Lezione 40, Gio 9 dicembre, 2h

Problemi in sospeso, con chiarimenti e ripassi

Problemi in sospeso:
   a) nr. 4 Lezione 37
   [vedi figura in Galleria per la variazione di impedenza di circuito RLC nell'intorno della frequenza di risonanza;
    dalla figura si evincono chiaramente come variano modulo e fase dell'impedenza in funzione della frequenza];
   b) nr. 1 Lezione 38;
   c) nr. 3-4 Lezione 39;
   d) nr. 6 (+7) Lezione 39;
   e) nr. 8 Lezione 39.
      foto lavagna
Alcuni degli argomenti del corso rivisti/chiariti/illustrati risolvendo i problemi:
- Lavoro del campo elettrico. Potenza in corrente e continua ed effetto Joule. Energia e potenza.
  Potenza in regime sinusoidale. Tensioni e correnti efficaci (e valori quadratici medi). Potenza media, fattore di potenza (coseno dello sfasamento fra tensione e corrente).
- Proprietà dei numeri complessi, in particolare uso dei loro moduli e fasi per il cacolo di reciproci e rapporti.
  Generica impedenza nel piano complesso, in particolare nel caso di RLC serie intorno alla frequenza di risonanza (vedi figura in Galleria).
- Legge di Faraday-Neumann e legge di Lenz. Calcolo di flussi. Flusso in funzione del tempo in campo di superficie ('circuito') ruotante.
- RL 'impulsato' (ovvero al quale si connette un 'generatore' ideale di f=f₀ o 'f=0'): richiamo all'equazione differenziale che lo caratterizza (e ad altri fenomeni aventi la stessa equazione differenziale).
  Caso di 'spegnimento del circuito': smorzamento esponenziale della corrente, potenza fornita al resistore per effetto Joule ed energia totale erogata: (L·I₀²)/2.
  Identificazione di tale energia con l'energia totale presente 'nel circuito' al momento dello spegnimento.
- Campo magnetico in un solenide 'ideale'. Flusso di tale del campo attraverso la singola spira e il solenoide. Coefficiente di autoinduzione definito come il flusso totale diviso la corrente che ne è causa: → L.
  → L di un solenoide 'ideale'.
- Energia (L·I²)/2, associata al solenoide percorso da corrente riscritta in funzione di L del solenoide e di I che dà il campo magnetico B:
  → energia magnetica (e sua densità volumetrica), funzione di B², in analogia all'energia elettrostatica associata a E² all'interno di un condensatore piano.
  → foto lavagna.

Problemi

Svolgere i dettagli di alcuni problemi visti oggi.
Fare i conti con i valori numeri dati per ciascun problema.
Si immagini una barretta conduttrice di lunghezza L che si muove lungo una direzione trasversale ad essa di moto rettilineo uniforme con velocità (ad esempio si immagini la barretta orientata lungo y e la velocità lungo x). La barretta si muove in una regione di spazio in cui è presente un campo magnetico B costante, normale sia alla barretta che al vettore velocità (quindi diretto lungo z).
1. Si calcoli la forza di Lorentz sugli elettroni di conduzione.
2. Come si capisce bene, gli elettroni comuinceranno ad accumularsi a un estremo della barretta, mentre all'altro estremo ci sarà un accumulo di cariche positive. Tale processo di accumuli si arresterà quando il campo elettrico generato dalle cariche agli estremi si contrapporrà alla forza di Lorentz.
  → Si calcoli tale campo all'equilibrio.
3. Inoltre, se c'è un campo all'interno della barretta vuol dire che c'è una differenza di potenziale fra i suoi estremi.
  → Si calcoli tale differenza di potenziale.

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Lezione 41, Ven 10 dicembre, 2h

Sistemi oscillanti
Autoinduzione e mutua induzione — trasformatore ideale

Scarica (e precedente carica) del condensatore in presenza di induttanza ('RLC impulsato')
(Nota: una qualche minima autoinduttanza è inevitabile, come sono inevitabili le resistenze: quando si omettono L o R significa che si trascurano i loro effetti.)
- Caso speciale di L trascurabile: → scarica 'usuale' RC.
- Caso speciale di R trascurabile:
  - oscillatore armonico;
  - analogia meccanica.
- Caso generale: oscillazione smorzata:
  - Circuiti.pdf, pp. 31-34;
  - circuiti_248-250.pdf
    in particolare → tabella di analogie a p. 250.
  Immagini e script nel caso sottosmorzato:
  → carica e scarica C con R e L (Galleria)
Argomento connesso: transiente quando un RLC è alimentato con un generatore alla frequenza di risonanza:
→ risposta di un circuito RLC alle primissime oscillazione del generatore → Galleria
→ 'pompaggio' energia (Galleria)
Induzione mutua e trasformatore ideale: cenni (MNV par. 8.6 e 9.5)
Da ricordare:
- i concetti di base:
  - correnti producono campi;
  - materiali ferromagnetici (in particolare di forma toroidale) servono ad aumentare il campo magnetico (μ_r ≫ 1) e a confinarlo nel materiale stesso;
  - variazioni di correnti → variazioni di flusso concatenato → forze elettromotrici indotte;
- il rapporto di trasformazione nel caso ideale V_s/V_p = N_s/N_p;
- l'uguaglianza delle potenze, ovvero V_p·I_p = V_s·I_s.

Problemi

Mettersi in regola con i problemi in corso, in particolare con il nr 3 della lezione 40.
Data la funzione di x e t (interpretabili come posizione e tempo) f(x,t) = A cos(ω t - β x):
1. Che dimensioni fisiche hanno ω e β?
2. Trovare la relazione che deve intercorrere fra x e t affinché l'argomento della funzione coseno sia costante.
3. Alla luce del risultato del quesito precedente, che significato possiamo attribuire al rapporto ω/β?
Sempre sulla funzione f(x,t) del punto precedente
1. calcolare la derivata (parziale) seconda di f(x,t) rispetto a x;
2. calcolare la derivata (parziale) seconda di f(x,t) rispetto a t;
3. fare il rapporto fra i due risultati;
4. alla luce di questo rapporto, riscrivere la relazione che intercorre fra derivata seconda rispetto a x e la derivata seconda rispetto a t;
5. infine, alla luce di quanto ottenuto nel quesito 1.3, come possiamo riscrivere l'espressione ottenuta nel punto precedente?

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Lezione 42, Lun 13 dicembre, 1h

Ancora sull'RLC impulsato Introduzione alle onde

Carica e scarica di condensatore in presenza di induttanza:
ancora sulle analogie con oscillatore meccanico smorzato (con chiarimenti sul motivo per cui si studia il caso di attrito del tipo -β v):
→circuiti_248-250.pdf
Problemi nr. 2 e 3 della lezione scorsa: equazione delle onde:
- Equazioni delle onde: 'PromemoriaFSN_18-19', pp. 32-33;
- relazione fra lunghezza d’onda e frequenza: 'PromemoriaFSN_18-19'pp. 36-37.
- Equazione di d'Alambert per le onde piane: MNV, par. 16.1, 10.1.
Generalità sulle onde:
- onde longitudinali e onde trasversali;
- onde piane;
- onde piane armoniche;
- Numero d'onda: → Wikipedia in inglese (la definizione sulla versione italiana è 'biforcuta')

Problemi

In cosa differiscono le equazioni delle onde quando nell'argomento del coseno si mette ωt + βx al posto di ωt - βx?
Si dimostri che le generiche funzioni d'onda f(x,t) = g(x-v*t) e f(x,t) = g(x+v*t), ove g() è una generica funzione che dipende solo da 'x-v*t' soddisfano l'equazione di d'Alambert (vedi MNV Esempio 10.1 a p. 254 per la soluzione).
Data un'onda elettromagnetica di frequenza 540×10¹²Hz calcolare:
1. la lunghezza d'onda;
2. il numero d'onda.
Dire inoltre di che tipo di onda elettromagnetica si tratta.

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Lezione 42, Mar 14 dicembre, 2h

Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell
Onde elettromagnetiche: introduzione

Commenti sui problemi della lezione scorsa (con precisazioni e addendum):
- onde progressive e regressive;
- g(x+v*t) vs f(ωt + βx);
- non solo onde sinusoidali (FLMP pp. 323-324);
- onde trasversali su una corda tesa: generalità (FMLP, idem);
- β ↔ k (vedi lezione precedente → numero d'onda);
Velocità della luce: disquisizione storica (qualitativa):
- primi tentativi di misura da parte di Galileo;
- importanza pratica delle misure astronomiche e problema della longitudine;
- prima evidenza empirica di una velocità finita della luce;
- variazione dei periodi dei satelliti di Giove e analogia con l'effetto Doppler.
(È importante sapere che Maxwell conoscesse la velocità della luce per dare senso alle equazioni che aveva ottenuto! Poi la conferma sperimentale arrivo da Herz.)
Problema nr. 3 lezione 40.
Quando "la legge di Ampère non funziona":
- corrente di spostamento:
  — MNV, par. 5.8;
  — video su YouTube.
- legge di Ampère-Maxwell
  — MNV, par. 8.7;
  — video su YouTube
Rassegna delle altre equazioni fondamentali dell'elettromagnetismo
1. Legge di Gauss per il campo elettrico:
  Flusso campo elettrico da 'superficie gaussiana' ↔ carica;
2. Legge di Gauss per il campo magnetico:
  Flusso campo magnetico da 'superficie gaussiana' → 0 (→ no monopoli!);
3. Legge di Faraday:
  Circuitazione di E ↔ variazione di flusso di B;
4. Legge di Ampère-Maxwell:
  Circuitazione di B ↔ correnti (cariche + spostamento).
  Caso speciale nel vuoto:
  Circuitazione di B ↔ variazione di flusso di E
Equazioni di Maxwell (in forma integrale).
Dalle equazioni di Maxwell alle onde elettromagnetiche.

Altri video raccomandati:

Le equazioni di Maxwell
Dalle equazioni di Maxwell alle equazioni delle onde
(a lezione siamo arrivati fino a c.a 4:40 → vedi problemi proposti).

Problemi

Fare un ripasso sulle 4 equazioni di Maxwell, riandando alle lezioni in cui sono comparse la prima volta, anche se volutamente non era stato dato loro il nome altisonante.
(E rivedersi esempli ed esercizi in cui venivano utilizzate).
Completare la visione di Dalle equazioni di Maxwell alle equazioni delle onde, cercando di anticipare i conti una volta che si è capito a cosa vorrebbe arrivare, in particolare
- a partire da 4:14 (vuole arrivare a una relazione fra la derivata di B rispetto a x e la derivata di E rispetto a t);
- a partire da 6:00 (vuole arrivare a una equazione di d'Alambert sia per E che per B);
- a partire da 7:38 (vuole arrivare a una relazione fra le ampiezze di oscillazione),
controllando alla fine i risultati.
Problema nr. 3 lezione 40.

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Lezione 43, Gio 16 dicembre, 2h

Ancora generalità sulle onde
Onde elettromagnetiche

Ancora sulle onde
- Generica espressione delle onde (in una dimensione).
- Sovrapposizione di onde e principio di sovrapposizione: FLMP, pp. 919-921.
- Onde stazionarie:
  - animazioni in Galleria;
  - dettagli su video Youtube
- Nota sull'equazione di d'Alambert: vale anche per onde stazionarie!
  (Vedi problema del video precedente: check come esercizio)
Campo magnetico prodotto dalla corrente di spostamento
- interessante video di Kahn Academy
  (interessante anche come introduce il 'problema della legge di Ampère');
- per ulteriori dettagli vedi video di Ivan Cervesato (lasciato come esercizio);
Onde elettromagnetiche
- Dalle equazioni di Maxwell alle equazioni delle onde
  (completamento da 4:03).
  Nota: in questo video e nei prossimi ci sono tre assunti che andebbero dimostrati:
  - le oscillazioni di E e di B sono in fase;
  - E e B sono ortogonali fra di loro e ortogonali alla direzione di moto;
  - E e B sono orientati fra di loro in modo che E, B e x formino una 'terna levogira'
    (come x-y-z e y-z-x — vedi figura sul video).
- velocità della luce ('onda elettromagnetica') nei mezzi trasparenti;
- Le onde elettromagnetiche
- Densità di energia associata al campo elettromagnetico altro video di Elia Rampi, fino a 3:14.
Nota: il campo elettrico, introdotto come 'oggetto matematico' nell'elettrostatica, diventa un vero oggetto fisico! .

Problemi

video Youtube: verificare che l'onda stazionaria soddisfa l'equazione di d'Alambert.
Sulla traccia di quanto fatto a lezione e del video di Khan Academy, trovare l'espressione del campo magnetico dentro e fuori le armature di un condensatore piano.
(Soluzione dettagliata su video di Ivan Cervesato, ma provare prima a risolverlo da soli.)
Sulla traccia del video sulla densità di energia delle onde elettromagnetiche:
- scrivere l'espressione della densità di energia dell'onda solo in termini di E o di B;
- esprimere la densità di energia media in termini dei valori efficaci di E e di B.

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Lezione 44, Ven 17 dicembre, 2h

Ancora sulle onde elettromagnetiche
Introduzione all'ottica geometrica

Precisazioni sulle onde stazionarie:
— non ci devono essere necessariamente due onde 'fisiche', una progressiva e una regressiva; — né tanto meno occorre generare l'onda progressiva e ... attendere la regressiva (chiedete a un chitarrista...)
→ è l'oscilazione stazionaria a essere descritta matematicamente in tal modo
(e il chitarrista sollecita la corda e basta...)
Densità di energia e intensità delle onde elettromagnetiche
Vettore di Poynting
- Video 1 (da 17:22) (raccomandata anche la parte precedente del video, su intensità dell'onda, prestando attenzione prestando attenzione a non confondere intensità istantanea e intensità media dell'onda)
- Video 2 (fino a 6:58), nel quale si chiarisce il concetto di intensità dell'onda.
Introduzione all'ottica geometrica
- PromemoriaFSN, pp. 35-36;
- immagini e link in Galleria (si raccomanda di giocherellare con i simulatori al fine di prender confidenza con la fenomenologia della riflessione e della rifrazione);
- vecchia lavagna telematica;
- innalzamento apparente del fondo.
- miraggi
- Cenni (per ora) alla dispersione della luce (indice di rifrazione dipendente dalla frequenza, ovvero da λ):
  → vedi figura in Galleria.

Problemi

Calcolare l'angolo di riflessione totale nei seguenti casi:
1. acqua→aria;
2. vetro→aria;
3. diamante→aria;
4. vetro→acqua;
5. diamante→vetro.
(Per gli indici di rifrazione si usino, rispettivamente, per aria, acqua, vetro e diamante: 1.00, 1.33, 1.50 e 2.42)
Si disegni un raggio luminoso che attraversa, con un certo angolo di incidenza θ, una lastra di vetro di spessore d. In particolare, si mostri come il raggio che esce dalla lastra è parallelo a quello incidente sulla lastra, ma ha uno scostamento che dipende da d e da θ.
Si traccino raggi incidenti e riflessi su specchi sferici, sia concavi che convessi, per alcuni angoli a piacere.
(Nell'ottica geometrica è importante acquisire una certa familiarità con le costruzioni grafiche!)
Si immagini uno specchio normale all'asse 'y' e che contenga l'asse x. Si disegni quindi una sorgente puntiforme nel punto di coordinate (0, 10).
Si traccino quindi i raggi che dalla sorgente colpiscano lo specchio nei punti di coordinate (0,0), (5,0), (10,0) e (15,0).
Quindi:
- disegnare i raggi riflessi;
- disegnare i prolungamenti dei raggi riflessi.
Facendo uso della figura che mostra l'indice di rifrazione dell'acqua riportata in Galleria e assumendo che per il vetro essa assuma una forma simile, dire se la famosa figura di The dark side of the moon è qualitativamente corretta o se lo spettro di colori in uscita dal prisma è stato invertito.
(Non c'è bisogno di usare formule: tracciare il triangolo della famosa immagine rappresentante di prisma e il raggio bianco a sinistra; quindi tracciare due raggi rifratti con n esageratamente diverse e cercare ci capire cosa ci si aspetta).
Provare a misurare l'indice di rifrazione dell'acqua dal sollevamento apparente del fondo di un bicchiere.
Facendo uso delle ben note approssimazioni per piccoli angoli, ricavarsi la legge di Snell nell'ipotesi di raggio incidente e rifratto prossimi alla normale alla superficie di separazione dei due mezzi.

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Lezione 46, Mar 21 dicembre, 2h

Ottica geometrica

Dispersione della luce: da The dark side of the moon all'arcobaleno:
- Esempio di dipendenza dell'indice di rifrazione dalla lunghezza d'onda:
  — acqua, nel visibile
- problema nr. 5 della lezione precedente (con varianti)
  - prisma seguito da altri elementi ottici (simulazione con Algodoo);
  - interazione di un raggio luminoso bianco con una goccia d'acqua
  - ... e fisica dell'arcobaleno;
Rifrazione astronomica dovuta alla densità non uniforme dell'aria nell'atmosfera:
- rifrazione in funzione dell'angolo rispetto all'orizzonte (o rispetto allo zenit — vedi link);
- posizione apparente degli oggetti celesti (sulla 'volta celeste');
- schiacciamento di sole e luna in prossimità dell'orizzonte;
- Effetto della rifrazione sul sorgere e il tramonto di sole e luna;
Formazione di immagini per effetto di riflessione e rifrazione
- Premessa: camera oscura (non forma propriamente un'immagine per come la si intende in ottica).
- Problema nr. 4 della scorsa lezione: immagine formata da uno specchio piano
- Dai prismi alle lenti
  - Sistema di due prismi per capire il principio alla base di lenti divergenti e convergenti (→ immagine in Galleria)
- Raggi notevoli per la costruzioni di immagini
- Equazione dei punti coniugati (e convenzione dei segni),
Specchi 'sferici'
(in approssimazione di grandi raggi di curvatura, analoga all'approssimazione di lenti sottili)
- fenomenologia: → specchi concavi e convessi;
- raggi notevoli per la costruzione di immagini;
- Equazione dei punti coniugati (e convenzione dei segni — saranno più chiari svolgendo i problemi suggeriti).
Specchi sferici e specchi parabolici ('antenne paraboliche'):
- non ne abbiamo parlato a lezione (ci ritorneremo brevemente);
- per ora si vedano le immagini in Galleria le quali mostrano il miglior potere degli 'specchi parabolici' di concentrare in un 'punto' i raggi paraleli all'asse ottico.

Altro materiale:

PromemoriaFSN, pp. 35-43;
slides_ottica.pdf, con schema riassuntivo lenti-specchi.
Altra vecchia lavagna telematica
Formulario per Scienze Naturali (su altro programma, ma tanto per avere un'idea di come sarà il nostro)

Problemi (i primi quattro si riferiscono a lenti; i sei del punto 5 a specchio concavo)

Problema nr 2 PromemoriaFSN, par. 25.3 p. 42 (obiettivo di focale 50 mm in diverse modalità d'uso).
Problema nr 3 PromemoriaFSN, par. 25.3 p. 43 (lente divergente di focale 50 mm).
Problema nr 1 PromemoriaFSN, par. 26.3 p. 44 (continuazione nr. 1, punto b: → messa a fuoco).
Problema nr 2 PromemoriaFSN, par. 26.3 pp. 44-45 (continuazione nr. 1, punto b: → zoom).
Problemi nr 3-8 PromemoriaFSN, par. 24.5 pp. 39-40 (specchio concavo).

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Lezione 47, Ven 7 gennaio, 2h

Ottica. Onde.

Un chiarimento su velocità e lunghezza d'onda della luce nei mezzi
- velocità: v = c/n;
- la relazione λ·ν = v deve continuare a valere;
- ν rimane fissa ('il cadenzamento' si conserva): → λ = λ₀/n, con λ₀ la lunghezza d'onda nel vuoto.
Charimento su concetto di onda piana elettromagnatica:
- Dalle usuali figure sembra un punto che avanza oscillando:
  → animazione in Galleria.
- In realtà bisogna immaginare 'un piano' (in pratica una porzione di piano) che avanza con E e B oscillanti:
  → animazione in Galleria
Problemi della scorsa lezione
- Obiettivo di focale 50 mm con oggetti a diverse distanze (probl. nr. 1);
  → soluzioni in PromemoriaFSN, par. 26.1, p. 43.
  Comando R, ad es. (unità in cm)
```
  f=5; p=5000; h=1000; (q=p*f/(p-f)); (M=-q/p); (hi=M*h)
```
  Continuazione: ⇒ Problemi nr. 1 e 2 di questa lezione.
- Lente divergente f = -5 cm e oggetto di h = 2 cm posto a 10 cm e a 2.5 cm (probl. nr. 2)
- Specchio concavo con oggetto in diversi punto lungo l'asse (probl. nr 5, in particolare → 3.4 e 3.5 a p. 40 di PromemoriaFSN).
  Comando R, ad es. (p e q in unità di f, con h unitaria)
```
  f=1; p=2*f; h=1; (q=p*f/(p-f)); (M=-q/p); (hi=M*h)
```
  Per foto 'tipiche' dei due possibili casi,
  - oggetto oltre il fuoco;
  - oggetto fra specchio e fuoco,
  vedi Galleria
- Figure riassuntive (q e M in funzione di p) per lenti convergenti e specchi concavi (immagini reali o virtuali a seconda di p/f):
  → Galleria
Cenno alle fibre ottiche come interessante/importante applicazione della riflessione totale
→ Galleria
Leggi dell'ottica geometrica riottenute dal Principio di Fermat
con applicazioni a
- riflessione;
- rifrazione.
Dettagli su ottica_Fermat_Huygens.pdf
[Nota sui simboli in Fig. 4.9 rispetto a quelli usati nelle formule: x₁ → x; x₂ → L - x.]
Principio di Huygens (o Huygens-Fresnel, MNV par. 11.2 )
- enunciato da Wikipedia
- figura esemplificativa su Wikipedia
- Diffrazione di onde (in generale), derivante da tale principio:
  → video su Youtube
Breve introduzione storica sulle idee riguardanti la natura della luce:
→ Video su Youtube
Onde sferiche e, in particolare, onde elettromagnetiche sferiche: MNV, p. 265
Effetti di interferenza fra onde elettromagnetiche
- Onde di stessa frequenza e diversa fase: → Galleria.
- Battimenti:
  - battimenti di onde sonore: → Galleria.
    [Vedremo la teoria la prossima lezione.]

Problemi

Continuazione del problema nr. 1 della scorsa lezione: Trovare per quale distanza dalla lente, in unità di distanza focale, l'immagine ha la stessa dimensione dell'oggetto.
(Si faccia attenzione alle due possibilità di immagine dritta o rovesciata, facendo la costruzione grafica del caso di immagine rovesciata — l'altra è banale).
Ulteriore continuazione dello stesso problema: trovare la condizione su p affinché l'immagine sia reale, (ricordando che in questo caso f e p sono entrambe positive).
Si analizzi quindi il caso di p=2.5 cm, effettuando anche la costruzione grafica.
Si immagini di porre un oggetto molto piccolo fra una lente convergente e il fuoco, talmente vicina al fuoco da poter scrivere p come p = f-ε (con ε > 0).
1. Calcolare q e farne il limite per ε → 0.
2. Calcolare M e farne il limite per ε → 0.
Continuazione del problema precedente.
Indichiamo con d₀ la distanza minima (convenzionalmente 25 cm) dalla quale possiamo vedere il piccolo oggetto, di dimensione trasversa h. Il rapporto h/d₀ sarà quindi la dimensione angolare, che indichiamo con α₀, con la quale vediamo l'oggetto (essendo l'oggetto piccolo stamo approssimando l'angolo con la sua tangente).
1. Si calcoli la dimensione angolare, che indichiamo con α, con la quale vediamo l'immagine (di dimensione h' e a distanza ≈|q| dall'occhio, essendo |q| ≫ d₀).
2. Si calcoli quindi il rapporto di ingrandimento angolare α/α₀.
3. Alla luce di quanto ottenuto si dica se per vedere 'meglio' il piccolo oggetto è preferibile che f della lente sia grande o piccola.

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Lezione 48, Lun 10 gennaio, 1h

Problemi in corso. Ancora su induzione e onde.

Errata: nella formula dell'intensità dell'onda elettromagnetica sferica scritta alla lavagna mancava la potenza (=2) di r al denominatore
→ corrige [ok su MNV, Eq. (10.26)].
Ancora sulla caduta di un magnete in un tubo, questa volta di plastica, circondato localmente da una bobina:
- vedi immagine in Galleria;
- cosa ci aspettiamo nei tre casi?
Problemi sulla messa a fuoco e sullo zoom (nr. 3 e 4 Lezione 46).
Problema sulla lente di ingrandimento (nr. 3 e 4 della scorsa lezione):
→ dettagli su PromemoriaFSN, par. 36.2, p. 65.
Ancora su intereferenza prodotta da sfasamento:
→ Interferometro per rivelare Onde Gravitazionali: → Galleria
Due onde sferiche della stessa frequenza (in realtà considerando onde 'semisferiche')
- emissione coerenti da due sorgenti puntiformi
  → due fenditure 'molto strette';
- caso generale, solo visto graficamente;
- caso di raggi 'praticamente paralleli' (anche non ortogonali al piano da cui le onde sono emesse);
- interferenza costruttiva e distruttiva.

Problemi

Lente di ingrandimento 'attaccata' all'occhio (tipo orologiai/orefici): Problema nr 4 PromemoriaFSN p. 68.
Due onde elettromagnetiche sferiche (A e B) di stessa frequenza (5.00×10¹⁴ Hz) e ampiezza sono emesse in fase da sorgenti vicine circa puntiformi (si pensi a due fenditure su cui incide un'onda elettromagnetica piana). Esse arrivano su un punto molto lontano dalle sorgenti, ovvero tale che le rette contenenti i due punti di emissione e il punto di arrivo sono circa parallele. Indichiamo con E_r l'ampiezza del campo elettrico di ciascuna di esse nel punto di arrivo (che possiamo assumere essere circa uguale, ai fini del problema) e supponiamo che a un dato istante il campo elettrico dell'onda A valga E_r, ovvero assuma il suo valore massimo. Calcolare il modulo campo elettrico totale in tale istante in unità di E_r, ovvero |E/E_r| per le seguenti differenze di percorso:
1. 1.8 μm;
2. 1.95 μm;
3. 2.1 μm;
4. 2.25 μm;
5. 2.4 μm.

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Lezione 49, mar 11 gen, 2h

Onde, in particolare onde elettromagnetiche

Bozza del formulario: formulario_F2Ch.pdf
Commenti sull'esperimento della caduta del magnete nel tubo (→ immagine in Galleria);
Problema nr. 2 della scorsa lezione.
Battimenti di onde sonore: MNV, 16.11, p. 476 (→ Galleria).
Interferenza e diffrazione della luce
- Principio di Huygens-Fresnel (MNV par. 11.2)
- Video su Youtube (fino a 11:40)
- Per esperimento di Young vedi anche MNV par. 13.2
Precisazioni sulle grandezze che caratterizzano le onde piane:
- densità istantanea di energia elettromagnetica [J/m³]
- potenza (che attraversa una certa superficie): [W]
  (Seguita prossima lezione)
Problemi
1. Con riferimento alla Fig. 13.5 di MNV (vedi anche in Galleria) e assumendo L = 1 m, d = 10 μm e λ = 600 nm,
  1. calcolare l'angolo θ a cui si formano la prima, la seconda e la terza frangia luminosa (quella a θ=0 invece è la 'frangia centrale');
  2. in quali punti x si formano tali frange sullo schermo (la 'frangia centrale' si forma a x=0).
  3. si ripetano i conti per λ = 400 nm.

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Lezione 50, Gio 13 gennaio, 2h

Ancora proprietà delle onde elettromagnetiche e fenomeni legati alla loro 'sovrapposizione'

Precisazioni sulle grandezze che caratterizzano le onde piane (continuazione dalla scorsa lezione):
- densità istantanea di energia elettromagnetica [J/m³]
- potenza (che attraversa una certa superficie): [W]
- potenza per unità di superficie [W/m² = J/m²s]
  → modulo del vettore di Poynting;
- intensità dell'onda e.m. piana: media del modulo del vettore di Poynting:
  → potenza media per unità di superficie; → I = S_m = u_m·c
- per E(t), S(t) e I vedi figura in Galleria
Quantità di moto di un'onda elettromagnetica e pressione di radiazione. → video su Youtube
(con richiami su problemi di urti elastici e anelastici).
[altro video]
[Attenzione alla Eq. (10.27) di MNV che non è la quantità di moto!]
Cenni ai fenomeni legati alla quantizzazione delle onde elettromagnetiche:
- E = hν; (→ effetto fotoelettrico)
- p = hν/c.
- leggi del corpo nero:
  - Introduzione alla fotometria, p. 50;
  - simulatore
Combinazioni lineari di onde elettromagnetiche: danno luogo a onde elettromagnetiche
- somma di onde sfasate di stessa frequenza (già visto): → formule per descrivere la sovrapposizione.
  Script R: sfasamento_1.R.
- Polarizzazione: vedi Galleria:
  - polarizzazione lineare (introduzione qualitativa);
  - Esperimento in aula:
    - il primo filtro polarizzatore fa passare solo la luce polarizzata verticalmente;
    - mettendo un secondo filtro, posto dopo il primo in modo che lasci passare solo luce polarizzata orizzontalmente, non passa la luce (sostanzialmente — i filtri non sono perfetti);
    - un terzo filtro, disposto fra i due e in modo tale da selezionare solo luce polarizzata linearmente a 45°, fa riapparire la luce dopo il secondo filtro.
- Illustrazione del simulatore di diffrazione di un'onda piana attraverso una fenditura
  → Galleria

Problemi

Un fotone ha una lunghezza d'onda di 600 nm:
- calcolare l'energia che trasporta (in eV);
- calcolare la sua quantità di moto in unità del SI;
- calcolare a quale velocità devono viaggiare un protone e un elettrone per avere tale quantità di moto.
Un'onda elettromagnetica piana avente un campo elettrico effettivo di 100 V/m incide, ortogonalmente, su una superficie di 1 m², dalla quale viene assorbita.
Si valutino:
- l'intensità dell'onda;
- la pressione di radiazione dell'onda.
Calcolare inoltre, nell'ipotesi che tale superficie venga irraggiata per 10 minuti, l'energia e la quantità di moto cedute dall'onda elettromagnetica al corpo da cui è stata assorbita.
[Testo modificato in data 16 marzo su segnalazione di una studentessa.]

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Lezione 51, Ven 14 gennaio, 2h

Ancora Elettromagnetismo e Ottica Fisica

Cenni all'emissione di onde elettromagnetiche: → Irraggiamento da cariche accelerate:
- formula di Larmor
  → da ricordare la dipendenza da q e da a (carica e accelerazione): potenza dipende dal quadrato di entrambe
- radiazione elettromagnetica emessa da un dipolo (antenne!):
  - Figure e animazioni in Galleria.
  - MNV par. 10.7: solo qualitativamente + Eq. (10.40) per la dipendenza da p e da ω:
    - dipende dal quadrato di p;
    - dipende dalla quarta potenza di ω.
  - 'raccordo' con la formula di Larmor, ricordando l'accelerazione di un sistema oscillante ('rω²').
- Cenni al problema storico dell'instabilità del modello planetario dell'atomo:
  - gli elettroni confinati a orbitare intorno al nucleo 'devono' (secondo l'elettromagnetismo classico) inevitabilmente emettere onde elettromagnetiche, perdendo così energia a collassando sul nucleo;
  - problema risolto con l'avvento della Meccanica Quantistica.
Polarizzazione vedi animazioni in Galleria:
Concetto di base: interferenza fra onde elettromagnetiche aventi campo elettrico (e quindi magnetico) non paralleli.
- Analisi dell'esperimento in aula in termini di sovrapposizione di onde piane aventi diverso orientamento, ma in fase fra di loro.
- Effetto dovuto a loro sfasamento: → polarizzazione circolare ed ellittica (levogira/destrogira).
  (Anche ellittica inclinata, giocando con la fase fra le due onde.)
Ancora interferenza e diffrazione (da FLMP, pp. 989-996)
- Interferenza di Young (due 'sottilissime' fenditure);
- diffrazione da una fenditura evente apertura dell'ordine di grandezza di λ;
- diffrazione + interferenza (due fenditure, ciascuna avente apertura dell'ordine di grandezza di λ.)
Reticolo di diffrazione
- Video su Youtube^(*) (22:26-27:12) per descrione e figure;
- massimi per d sinθ = mλ, con d il passo del reticolo e m = 0, &plusm;1, &plusm;2, ...
  (come per due fenditure, ma molto più luminosi, perché hanno 'più contributi';)
- Esperimento in aula con reticolo da 13400 fenditure/pollice e laser di due colori.
  (Reticolo del tipo di quello mostrato a 26:25 del video)
- Importanza pratica per l'analisi della luce e quindi degli spettri di emissione e di assorbimento.
  (Interessante, per chi vuole approfondire e capire come mai arriviamo ad affermazioni quantitative sulla spaziatura di atomi di cristalli, à diffrazione dei raggi X, descritta da 27:14).
[^(*) Att: la formula che dà sin θ, mostrata fra 24:41 e 25:54, è chiaramente affetta da un refuso. Dovrebbe essere sin θ = mλ/d.

Problemi

Una carica elettrica accelerata ad un certo istante emette una potenza media di 10 W. Calcolare la potenza se in un istante successivo l'accelerazione è triplicata.
(FLMP 25.6) Una sorgente di luce rossa (λ = 640 nm) illumina due fenditure che distano fra loro d = 12 μm. Si calcoli la larghezza delle frange di interferenza (ossia la distanza tra due minimi successivi) su uno schermo posto a 1.2 m dalle fenditure.
Ripetere il problem precedente nel caso di λ = 460 nm.
(FLMP 25.7) Si considerano due fenditure con d = 32 μm. Su uno schermo alla distanza D = 90 cm si osservano delle frange di interferenza. Se la distanza tra due massimi successivi è di 13,7 mm, quanto vale λ?
(FLMP 25.8) Un raggio laser con λ = 640 nm incide su una fenditura di largetta 0.78 mm. Se lo schermo è posto ad una distanza D = 38 cm, si calcoli la larghezza della frangia centrale e la distanza tra il massimo centrale e il primo massimo massimo secondario.
(FLMP 25.9) Un raggio laser con λ = 520 nm incide su una fenditura, Se lo schermo è posto ad una distanza D = 45 cm, e la distanza tra il massimo centrale e il primo massimo secondario è pari a 70 μm, si calcoli:
- la larghezza della fenditura;
- la larghezza della frangia centrale.
(FLMP 25.10) Si considerano de fenditure di larghezza pari a 25 μm poste a una distanza pari a 0.2 mm. Se sono illuminate da luce con λ = 520 nm, si calcoli I₁/I₀, dove I₁ è l'intensità del primo massimo secondario. Si assuma che il primo massimo corrisponda a β = π, ove β = ((π d)/λ)· sinθ [formula (25.35) di FLMP].

Soluzione dei problemi da FLMP

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