MODELLI e METODI MATEMATICI della FISICA

                                                                                            Fabio Riccioni

                                                                                                      Dipartimento di Fisica, Università degli studi di Roma "La Sapienza"

                                                                     anno accademico 2021-22, Canale O-Z


                                  

    
 
Questa è la pagina web relativa al secondo modulo del corso.


Testi consigliati:



Avvertenze per l'esame:

Durante lo scritto si può usare un solo libro. Formulari o appunti possono essere consultati su richiesta su supervisione del docente.

Per sostenere l'esame orale è necessario aver superato lo scritto con un voto maggiore o uguale a 18. Un voto sufficiente all'esame scritto consente di sostenere un solo esame orale. Se il voto finale è insufficiente o viene rifiutato, si perde lo scritto. È valido l'ultimo scritto consegnato, i risultati precedenti vengono cancellati.

Gli studenti possono decidere di non effettuare l'esame orale, nel qual caso viene verbalizzato il minimo tra il voto dello scritto e 25. 

Gli studenti possono ripetere l'esame nel successivo appello della stessa sessione.

Il voto dello scritto resta valido per due sessioni fino alla sessione invernale del 2023. Quindi il voto dello scritto della sessione estiva è valido fino alla sessione autunnale e quello della sessione autunnale fino alla sessione invernale.


Programma dettagliato del corso:

Lezione 1 (28 marzo 2022):

Definizione di spazio vettoriale. Esempi di spazi vettoriali finito-dimensionali sui reali e sui complessi. Vettori linearmente indipendenti e definizione di base. Spazio dei polinomi come esempio di spazio infinito-dimensionale.


Lezione 2 (29 marzo 2022):

Spazi metrici. Definizione di sottoinsiemi aperti e chiusi. Spazi normati. Esempi. Prodotto scalare. Disuguaglianza di Schwarz. Spazi completi. Definizione di spazi di Banach e spazi di Hilbert.


Lezione 3 (30 marzo 2022):

Spazi di Hilbert di dimensione finita. Basi ortonormali. Algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi.


Lezione 4 (31 marzo 2022):

Operatori lineari in spazi di Hilbert finito-dimensionali. Richiami di algebra lineare. Cambiamenti di base. Esercizi. Definizione di operatore aggiunto. Operatori hermitiani e operatori unitari.


Lezione 5 (1 aprile 2022):

Matrici di Pauli. Operatori unitari in due dimensioni. Autovalori e autovettori. Autospazi. Equazione caratteristica. Diagonalizzazione di operatori. Dimostrazione che operatori hermitiani hanno autovalori reali. Dimostrazione che operatori hermitiani sono diagonalizzabili su una base ortonormale.


Lezione 6 (4 aprile 2022):

Dimostrazione che operatori unitari hanno autovalori di modulo uguale a 1. Dimostrazione che operatori unitari sono diagonalizzabili su una base ortonormale. Dimostrazione che due operatori diagonalizzabili che commutano ammettono una comune base di autovettori. Esempio nel caso di due operatori hermitiani.


Lezione 7 (5 aprile 2022):

Operatori non diagonalizzabili. Matrici in forma di Jordan. Esercizi. Teorema di Cayley-Hamilton. Funzioni di operatori Esercizi su funzioni di operatori come serie di Taylor. Funzioni di operatori diagonalizzabili.


Lezione 8 (6 aprile 2022):

Formula di Baker-Campbell-Hausdorff. Esercizi. Esponenziale di operatori non diagonalizzabili e applicazione alla soluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti.

Lezione 9 (7 aprile 2022):

Insieme degli operatori lineari come spazio vettoriale e norme. Esercizi. Formula di Dunford.

Lezione 10 (8 aprile 2022):

Formula di Dunford. Porprietà dell'operatore risolvente. Insieme risolvente. Esercizi. Funzioni polidrome di operatori.


Lezione 11 (11 aprile 2022):

Esercizi su funzioni polidrome di operatori. Formula di Dunford per prodotti di funzioni. Operatori spettrali. Decomposizione spettrale.


Lezione 12 (12 aprile 2022):

Decomposizione spettrale. Calcolo di funzioni di operatori tramite la decomposizione spettrale. Esercizi.


Lezione 13 (13 aprile 2022):

Funzionali lineari. Dimostrazione del teorema di Cayley-Hamilton tramite la decomposizione spettrale. Esercizi.


Lezione 14 (21 aprile 2022):

Spazi di Hilbert di dimensione infinita. Definizione dello spazio l2. Spazi di funzioni. Definizione delle norme Lp e della norma uniforme. Spazio delle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato con norma uniforme come spazio completo.


Lezione 15 (22 aprile 2022)

Spazio L1. Cenni su integrali di Lebesgue e completezza di L1 e di Lp. L2 come spazio di Hilbert separabile. Basi di Hilbert di L2. Indentità di Parseval. Serie di Fourier.


Lezione 16 (2 maggio 2022)

Polinomi di Legendre. Cenni all'operatore momento angolare. Polinomi di Laguerre. Polinomi di Hermite. Cenni all'equazione di Schrodinger per l'oscillatore armonico. Esercizi su polinomi di Hermite.

Lezione 17 (3 maggio 2022)

Serie di Fourier. Serie di Fourier in forma trigonometrica. Esercizi.

Lezione 18 (4 maggio 2022)

Cenni al lemma di Riemann-Lebesgue. Nucleo di Dirichlet e convergenza puntuale della serie di Fourier. Nucleo di Dirichlet come funzione delta periodica.

Lezione 19 (5 maggio 2022)

Criteri di convergenza puntuale della serie di Fourier. Convergenza puntuale, uniforme e in L2. Serie di Fourier per l’onda quadra. Fenomeno di Gibbs. Esercizi sulla serie di Fourier.  Identità di Parseval. Calcolo della somma di serie numeriche utilizzando la serie di Fourier.

Lezione 20 (6 maggio 2022)

Esercizi sulla serie di Fourier. Cenni alle distribuzioni. Funzione theta di Heaviside. Proprietà della delta di Dirac.


Lezione 21 (9 maggio 2022)

Derivata della theta e della delta. Esercizi sulla delta di Dirac. Delta di Dirac come limite di successioni di funzioni. Trasformata di Fourier. Esempi.


Lezione 22 (16 maggio 2022)

Proprietà della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier della derivata di una funzione. Trasformata di Fourier e oscillatore armonico. Vari esercizi su trasformate di Fourier.


Lezione 23 (17 maggio 2022)

Antitrasformata di Fourier. Esercizi. Trasformata e antitrasformata di Fourier nello spazio di Schwartz.


Lezione 24 (18 maggio 2022)

Identità di Plancherel. Trasformata di Fourier in L2. Funzioni di Hermite come autofunzioni della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier della delta di Dirac.


Lezione 25 (19 maggio 2022)

Soluzione del problema di Cauchy per l’equazione del calore nel caso unidimensionale mediante transformata di Fourier. Trasformata di Laplace.

Lezione 26 (20 maggio 2022)

Soluzione di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti usando la trasformata di Laplace. Operatori lineari in spazi di Hilbert di dimensione infinita. Operatori continui e limitati. P e Q come operatori non limitati.

Lezione 27 (23 maggio 2022)

Dominio di un operatore. Estensione di un operatore. Esempi. Relazione di commutazione di Heisenberg. Operatori aggiunti. Operatori autoaggiunti e simmetrici. Esempi.

Lezione 28 (24 maggio 2022)

Operatori unitari. Autovalori e teoria spettrale (per operatori autoaggiunti). Spettro discreto e continuo. Cenni al teorema spettrale. Operatore P sul cerchio, sulla buca infinita e sull’asse reale.


Lezione 29 (25 maggio 2022)

Definizione di spettro discreto e continuo. Esempi. Dimostrazione che lo spettro continuo di un operatore autoaggiunto è reale.


Lezione 30 (26 maggio 2022)

Autovalori e autofunzioni dell’operatore hamiltoniano per la buca infinita. Equazione del calore con condizioni al bordo. Esercizi su spettro discreto di operatori differenziali del primo ordine. Equazioni differenziali lineari ordinarie del secondo ordine. Equazioni omogenee. Wronskiano.


Lezione 31 (27 maggio 2022)

Equazioni differenziali lineari ordinarie a coefficienti costanti. Sistemi di equazioni differenziali a coefficienti costanti del primo ordine. Equazione di Eulero. Esercizi. Formula generale per trovare, data una soluzione di un'equazione omogenea del secondo ordine, l’altra soluzione indipendente. Consultare questa pagina per una possibile referenza.

Lezione 32 (30 maggio 2022)

Esercizi. Problema non omogeneo. Metodo della variazione delle costanti per trovare una soluzione particolare del problema non omogeneo usando il Wronskiano. Esercizi. Trasformata di Laplace per la soluzione di equazioni differenziali a coefficienti costanti non omogenee.

Lezione 33 (31 maggio 2022)

 Equazioni differenziali non omogenee con funzioni delta e theta come termini forzanti. Esercizi. Funzione di Green per equazioni del primo ordine. (Testo di riferimento: dispense di F. Calogero, pag. 377-387).


Lezione 34 (1 giugno 2022)

Funzione di Green per equazioni del primo ordine e condizioni al bordo. Funzione di Green per equazioni del secondo ordine.


Lezione 35 (3 giugno 2022)

Funzione di Green per equazioni del secondo ordine e condizioni al bordo. Esercizi.





Appello del 21 giugno 2022:

Lo scritto si terrà il 21 giugno alle ore 14 in aula Amaldi e durerà  90 minuti.


Prova scritta del 21 giugno 2022

Soluzioni

Risultati


Appello del 5 luglio 2022:

Lo scritto si terrà il 5 luglio alle ore 14 in aula Amaldi e durerà  90 minuti.


Prova scritta del 5 luglio 2022

Soluzioni

Risultati


Appello del 9 settembre 2022:

Lo scritto si terrà il 9 settembre alle ore 10 in aula 7 e durerà  90 minuti.


Prova scritta del 9 settembre 2022

Soluzioni


Appello straordinario del 7 novembre 2022:


Prova scritta del 7 novembre 2022

Soluzioni


Appello del 16 gennaio 2023:

Lo scritto si terrà il 16 gennaio alle ore 9 in aula 7 e durerà  90 minuti.


Prova scritta del 16 gennaio 2023

Soluzioni


Appello dell'8 febbraio 2023:

Lo scritto si terrà l'8 febbraio alle ore 14 in aula 4 e durerà  90 minuti.


Prova scritta dell'8 febbraio 2023

Soluzioni


Appello straordinario del 3 maggio 2023:

Appello riservato a studenti fuoricorso. Lo scritto si terrà il 3 maggio alle ore 10 in aula Cabibbo e durerà 120 minuti.



Prova scritta del 3 maggio 2023

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