MODELLI e METODI MATEMATICI della FISICA

                                                                                            Fabio Riccioni

                                                                                                      Dipartimento di Fisica, Università degli studi di Roma "La Sapienza"

                                                                     anno accademico 2020-21, Canale Mf-Z


                                  

    
 
Questa è la pagina web relativa al secondo modulo del corso, le cui lezioni si tengono dal 7 aprile al 15 giugno 2021. La pagina  web relativa al primo modulo (analisi complessa), insegnato da Daniele Barducci, si può visitare cliccando sul link sottostante:

Modelli e metodi matematici della fisica, modulo 1


Testi consigliati:



Avvertenze per l'esame:

Durante lo scritto si può usare un solo libro. Formulari o appunti possono essere consultati su richiesta su supervisione del docente.

Per sostenere l'esame orale è necessario aver superato lo scritto con un voto maggiore o uguale a 18. Un voto sufficiente all'esame scritto consente di sostenere un solo esame orale. Se il voto finale è insufficiente o viene rifiutato, si perde lo scritto. È valido l'ultimo scritto consegnato, i risultati precedenti vengono cancellati.

Gli studenti possono decidere di non effettuare l'esame orale, nel qual caso viene verbalizzato il minimo tra il voto dello scritto e 25. 

Gli studenti possono ripetere l'esame nel successivo appello della stessa sessione.

Il voto dello scritto resta valido per due sessioni fino alla sessione invernale del 2022. Quindi il voto dello scritto della sessione estiva è valido fino alla sessione autunnale e quello della sessione autunnale fino alla sessione invernale.


Programma dettagliato del corso:

Lezione 1 (7 aprile 2021):

Definizione di spazio vettoriale. Esempi di spazi vettoriali finito-dimensionali sui reali e sui complessi. Vettori linearmente indipendenti e definizione di base. Spazio dei polinomi come esempio di spazio infinito-dimensionale.


Lezione 2 (8 aprile 2021):

Spazi metrici. Definizione di sottoinsiemi aperti e chiusi. Spazi normati. Esempi. Prodotto scalare. Disuguaglianza di Schwarz. Spazi completi. Definizione di spazi di Banach e spazi di Hilbert.


Lezione 3 (12 aprile 2021):

Spazi di Hilbert di dimensione finita. Basi ortonormali. Algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi. Operatori lineari in spazi di Hilbert finito-dimensionali.


Lezione 4 (13 aprile 2021):

Operatori lineari in spazi di Hilbert finito-dimensionali. Richiami di algebra lineare. Cambiamenti di base. Esercizi. Definizione di operatore aggiunto. Operatori hermitiani e operatori unitari.


Lezione 5 (14 aprile 2021):

Matrici di Pauli. Operatori unitari in due dimensioni. Autovalori e autovettori. Autospazi. Equazione caratteristica. Diagonalizzazione di operatori. Dimostrazione che operatori hermitiani hanno autovalori reali. Dimostrazione che operatori hermitiani sono diagonalizzabili su una base ortonormale.

Lezione 6 (15 aprile 2021):

Dimostrazione che operatori unitari hanno autovalori di modulo uguale a 1. Dimostrazione che operatori unitari sono diagonalizzabili su una base ortonormale. Dimostrazione che due operatori diagonalizzabili che commutano ammettono una comune base di autovettori. Esempio nel caso di due operatori hermitiani.


Lezione 7 (19 aprile 2021):

Operatori non diagonalizzabili. Matrici in forma di Jordan. Esercizi. Teorema di Cayley-Hamilton.

Lezione 8 (20 aprile 2021):

Teorema di Cayley-Hamilton. Funzioni di operatori. Norma di un operatore lineare.  Esercizi su funzioni di operatori. Funzioni di operatori diagonalizzabili.


Lezione 9 (21 aprile 2021):

Formula di Dunford. Definizione di operatore risolvente. Esercizi.


Lezione 10 (22 aprile 2021):

Porprietà dell'operatore risolvente. Insieme risolvente. Esercizi su funzioni di operatori. Prodotti di funzioni.


Lezione 11 (26 aprile 2021):

Formula di Baker-Campbell-Hausdorff. Esercizi su funzioni polidrome di operatori. Operatori spettrali. Decomposizione spettrale.


Lezione 12 (27 aprile 2021):

Operatori spettrali. Decomposizione spettrale. Funzioni polidrome di operatori. Esercizi.


Lezione 13 (28 aprile 2021):

Funzionali lineari e spazio vettoriale duale. Spazi di Hilbert di dimensione infinita. Definizione dello spazio l2. Spazi di funzioni. Definizione delle norme Lp e della norma uniforme.


Lezione 14 (29 aprile 2021):

Spazio delle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato con norma uniforme come spazio completo. Spazio L1. Cenni su integrali di Lebesgue e completezza di L1 e di Lp. L2 come spazio di Hilbert separabile. Basi di Hilbert di L2. Serie di Fourier.


Lezione 15 (3 maggio 2021):

Esercizio su successioni di Cauchy in L1[-1,1] e discussione su convergenza puntuale, uniforme e in L1. Basi di Hilbert di L2. Indentità di Parseval. Polinomi di Legendre. Cenni all'operatore momento angolare. Polinomi di Laguerre.

Lezione 16 (4 maggio 2021):

Polinomi di Hermite. Cenni all'equazione di Schrodinger per l'oscillatore armonico. Serie di Fourier. Serie di Fourier in forma trigonometrica. Esercizi.


Lezione 17 (5 maggio 2021):

Esercizi su polinomi di Hermite e serie di Fourier. Nucleo di Dirichlet. Delta di Dirac.


Lezione 18 (6 maggio 2021):

Cenni alle distribuzioni. Funzione theta di Heaviside. Proprietà della delta di Dirac. Derivata della theta e della delta. Esercizi sulla delta di Dirac. Delta di Dirac come limite di successioni di funzioni.


Lezione 19 (10 maggio 2021):


Cenni al lemma di Riemann-Lebesgue. Nucleo di Dirichlet e convergenza puntuale della serie di Fourier. Nucleo di Dirichlet come funzione delta periodica. Criteri di convergenza puntuale. Serie di Fourier per l’onda quadra. Fenomeno di Gibbs. Esercizi sulla serie di Fourier. Convergenza puntuale, uniforme e in L2. Identità di Parseval. Calcolo della somma di serie numeriche utilizzando la serie di Fourier.


Lezione 20 (11 maggio 2021):

Trasformata di Fourier. Esempi. Trasformata di Fourier della derivata di una funzione. Proprietà della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier e oscillatore armonico.

Lezione 21 (12 maggio 2021):

Vari esercizi su trasformate di Fourier. Antitrasformata di Fourier.


Lezione 22 (13 maggio 2021):

Trasformata e antitrasformata di Fourier nello spazio di Schwartz. Identità di Plancherel. Trasformata di Fourier in L2. Funzioni di Hermite come autofunzioni della trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier della delta di Dirac. Soluzione del problema di Cauchy per l’equazione del calore nel caso unidimensionale mediante transformata di Fourier.


Lezione 23 (17 maggio 2021):

Trasformata di Laplace. Operatori lineari in spazi di Hilbert di dimensione infinita. Operatori continui e limitati. P e Q come operatori non limitati.


Lezione 24 (18 maggio 2021):

Dominio di un operatore. Estensione di un operatore. Esempi. Relazione di commutazione di Heisenberg. Operatori aggiunti. Operatori autoaggiunti e simmetrici. Esempi. Operatori unitari.


Lezione 25 (19 maggio 2021):

Autovalori e teoria spettrale (per operatori autoaggiunti). Spettro discreto e continuo. Cenni al teorema spettrale. Operatore P sul cerchio, sulla buca infinita e sull’asse reale. Definizione di spettro discreto e continuo. Esempi.


Lezione 26 (20 maggio 2021):

Dimostrazione che lo spettro continuo di un operatore autoaggiunto è reale. Autovalori e autofunzioni dell’operatore hamiltoniano per la buca infinita. Cenni alla teoria spettrale per operatori autoaggiunti. Richiami di equazioni differenziali lineari ordinarie del primo ordine.

Lezione 27 (24 maggio 2021):

Esercizi su spettro discreto di operatori differenziali del primo ordine.  Equazioni differenziali lineari ordinarie del secondo ordine. Equazioni omogenee. Wronskiano. Equazione a coefficienti costanti. Sistemi di equazioni differenziali a coefficienti costanti del primo ordine. Equazione di Eulero.

Lezione 28 (25 maggio 2021):

Formula generale per trovare, data una soluzione di un'equazione omogenea del secondo ordine, l’altra soluzione indipendente. Esercizi. Problema non omogeneo. Metodo della variazione delle costanti per trovare una soluzione particolare del problema non omogeneo. Formula per la soluzione particolare del problema omogeneo ottenuta usando il Wronskiano. Esercizi. Trasformata di Laplace per la soluzione di equazioni differenziali a coefficienti costanti non omogenee.

Lezione 29 (26 maggio 2021):

 Equazioni differenziali non omogenee con funzioni delta e theta come termini forzanti. Esercizi.


Lezione 30 (3 giugno 2021):

Funzione di Green per equazioni del primo ordine e condizioni al bordo. Funzioni di Green per equazioni del secondo ordine. Esercizi.




Appello del 22 giugno 2021:

Lo scritto si terrà il 22 giugno alle ore 14 in aula Amaldi e durerà  90 minuti.  Chi ha necessità di svolgere l'esame da remoto deve inviare ai docenti una motivazione. Gli studenti che si sono prenotati per sostenere l'esame da remoto ma preferiscono farlo in presenza devono comunicarlo ai docenti.

Istruzioni per l'esame scritto da remoto:

Gli studenti prenotati che vogliono sostenere l'esame scritto da remoto dovranno comunicare ai docenti il loro indirizzo email istituzionale. Verrà condivisa con ciascuno studente una cartella Google Drive. La richiesta di condivisione arriverà direttamente ad ogni studente prima del compito e sarà esclusiva, ogni studente avrà la sua cartella. Nella suddetta cartella ciascuno studente caricherà un documento di identità prima dell'inizio dell'esame e il file del compito alla fine dell'esame. Gli scritti verranno inviati per email. Durante l'esame, è obbligatorio tenere il microfono acceso, e la telecamera accesa che inquadri lo studente e il suo piano di lavoro. Lo studente deve essere da solo nel luogo in cui svolge l'esame. Al termine dell'esame sarebbe ottimale produrre un file pdf unico, scansionando con app come CamScanner il compito. L'upload del file deve avvenire a partire dalla scadenza del tempo concesso per l'esame, ed entro i 10 minuti successivi. Una volta scaduto questo tempo, la condivisione della cartella verrà rimossa e non sarà più possibile consegnare il compito.

Il link per l'esame in modalità telematica è meet.google.com/haf-fxps-fkm


Prova scritta del 22 giugno 2021

Soluzioni

Risultati


Appello del 6 luglio 2021:

Lo scritto si terrà il 6 luglio alle ore 14 in aula Amaldi e durerà  90 minuti.  Chi ha necessità di svolgere l'esame da remoto deve inviare ai docenti una motivazione utilizzando l'email istituzionale entro la sera di sabato 3 luglio. Gli studenti che si sono prenotati per sostenere l'esame da remoto ma preferiscono farlo in presenza lo comunichino ai docenti.

Istruzioni per l'esame scritto da remoto:

Con ciascuno studente che vuole sostenere l'esame scritto da remoto verrà condivisa una cartella Google Drive. La richiesta di condivisione arriverà direttamente ad ogni studente prima del compito e sarà esclusiva, ogni studente avrà la sua cartella. Nella suddetta cartella ciascuno studente caricherà un documento di identità prima dell'inizio dell'esame e il file del compito alla fine dell'esame. Gli scritti verranno inviati per email. Durante l'esame, è obbligatorio tenere la telecamera accesa che inquadri lo studente e il suo piano di lavoro. Lo studente deve essere da solo nel luogo in cui svolge l'esame. Al termine dell'esame sarebbe ottimale produrre un file pdf unico, scansionando con app come CamScanner il compito. L'upload del file deve avvenire a partire dalla scadenza del tempo concesso per l'esame, ed entro i 10 minuti successivi. Una volta scaduto questo tempo, la condivisione della cartella verrà rimossa e non sarà più possibile consegnare il compito.

Il link per l'esame in modalità telematica è meet.google.com/sub-vufm-cfy


Prova scritta del 6 luglio 2021

Soluzioni

Risultati


Appello del 9 settembre 2021:

Lo scritto si terrà il 9 settembre alle ore 9 in aula Cabibbo e durerà  90 minuti. 

Istruzioni per l'esame scritto da remoto:

Con ciascuno studente che vuole sostenere l'esame scritto da remoto verrà condivisa una cartella Google Drive. La richiesta di condivisione arriverà direttamente ad ogni studente prima del compito e sarà esclusiva, ogni studente avrà la sua cartella. Nella suddetta cartella ciascuno studente caricherà un documento di identità prima dell'inizio dell'esame e il file del compito alla fine dell'esame. Gli scritti verranno inviati per email. Durante l'esame, è obbligatorio tenere la telecamera accesa che inquadri lo studente e il suo piano di lavoro. Lo studente deve essere da solo nel luogo in cui svolge l'esame. Al termine dell'esame sarebbe ottimale produrre un file pdf unico, scansionando con app come CamScanner il compito. L'upload del file deve avvenire a partire dalla scadenza del tempo concesso per l'esame, ed entro i 10 minuti successivi. Una volta scaduto questo tempo, la condivisione della cartella verrà rimossa e non sarà più possibile consegnare il compito.

Il link per l'esame in modalità telematica è meet.google.com/mkx-joot-wqz


Prova scritta del 9 settembre 2021

Soluzioni

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Appello del 15 novembre 2021:

Lo scritto si terrà il 15 novembre alle ore 12 in aula Conversi e durerà  90 minuti. 


Prova scritta del 15 novembre 2021

Soluzioni

Risultati

Appello del 17 gennaio 2022:

Lo scritto si terrà il 17 gennaio alle ore 10 in aula 7 e durerà  90 minuti.

Prova scritta del 17 gennaio 2022

Soluzioni

Risultati



Appello del 9 febbraio 2022:

Lo scritto si terrà il 9 febbraio alle ore 14:30 in aula 4 e durerà  90 minuti.


Prova scritta del 9 febbraio 2022

Soluzioni

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Appello straordinario del 2 maggio 2022:

Appello riservato a studenti fuoricorso. Lo scritto si terrà il 2 maggio alle ore 16:00 in aula Rasetti e durerà  90 minuti.


Prova scritta del 2 maggio 2022

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